若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1,求证：f（x）+1是奇函数.

Question

若定义在R上的函数f(x)满足:对任意x,y∈R,都有f(x+y)=f(x)+f(y)+1,求证：f（x）+1是奇函数.

Answer 1

令x=y=0
f(0)=f(0)+f(0)+1
f(0)=-1
令y=-x,则x+y=0
f(0)=f(x)+f(-x)+1
-1=f(x)+f(-x)+1
f(-x)+1=-f(x)-1
即f(-x)+1=-[f(x)+1]
令g(x)=f(x)+1
则g(-x)=f(-x)+1=-[f(x)+1]=-g(x)
所以g(x)是奇函数