（Ⅰ）叙述并证明面面垂直性质定理；（Ⅱ）P（x0，y0）到直线L：Ax+By+C=0的距离d=|Ax0+By0+C|A2+B2，并证明此公式．

Question

（Ⅰ）叙述并证明面面垂直性质定理；
（Ⅱ）P（x₀，y₀）到直线L：Ax+By+C=0的距离d=(|Ax0+By0+C|)/(√(A2+B2))，并证明此公式．

Answer 1

（I）如果两个平面相互垂直，那么在一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面，
即：若α⊥β，α∩β=l，m∈α且m⊥l，则l⊥β，
证明如下：令m∩l=A，过点A在平面β内作直线n⊥l，

∵m⊥l，n⊥l，α⊥β，
∴由两平面垂直的定义，有m⊥n，
又m⊥l，n，l∈β，n∩l=A，
∴由线面垂直的判定定理，l⊥β
证明：（II）设R是直线上任意一点，则R（x，y），
∵直线Ax+By+C=0的方向向量为

m

=（-B，A），
则可取直线Ax+By+C=0的法向量为

n

=（A，B），
∵

PR

=（x-x₀，y-y₀），
∴d=(|PR•n|)/(|n|)=(|A(x−x0)+B(y−y0)+C|)/(√(A2+B2))=(|Ax0+By0+C|)/(作业帮用户2017-09-30问题解析（I）面面垂直性质定理符号表示为：若α⊥β，α∩β=l，m∈α且m⊥l，则l⊥β，令m∩l=A，过点A在平面β内作直线n⊥l，由两平面垂直的定义，可得m⊥n，由线面垂直的判定定理，l⊥β（II）任取直线上一点R，利用向量的数量积运算，求出PR在直线的单位法向量上的投影的绝对值即可；名师点评本题考点：平面与平面垂直的判定；点到直线的距离公式．考点点评：本题考查了点到直线的距离公式与点到平面的距离公式d=(|PR•n|)/(|n|)的证明方法、面面垂直性质定理的证明，属于难题．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)