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设函数f(x)=(x+a)(|x-a+1|+|x-3|)-2x+4a的图象是中心对称图形,则实数a的值为()A.-23B.23C.34D.-34
题目详情
设函数f(x)=(x+a)(|x-a+1|+|x-3|)-2x+4a的图象是中心对称图形,则实数a的值为( )
A. -2 3
B. 2 3
C. 3 4
D. -3 4
▼优质解答
答案和解析
①当a-1=3,即a=4时,
f(x)=2(x+4)|x-3|-2x+16=
,
故f(x)的图象不是中心对称图形,
②当a-1≠3,即a≠4时,
f(x)=(x+a)(|x-a+1|+|x-3|)-2x+4a,
设b=min{a-1,3},c=max{a-1,3};
故f(x)在(-∞,b)上是二次函数,在(b,c)上是一次函数,
在(c,+∞)上是二次函数;
故若f(x)的图象是中心对称图形,
则对称中心一定在区间(b,c)的中点,
在(-∞,b)上,f(x)=-2x2-ax+a(a+2)+4a,
在(c,+∞)上,f(x)=2x2+(a-4)x-a(a+2)+4a,
故-
-
=2
,
故a=-
;
故选:A.
f(x)=2(x+4)|x-3|-2x+16=
|
故f(x)的图象不是中心对称图形,
②当a-1≠3,即a≠4时,
f(x)=(x+a)(|x-a+1|+|x-3|)-2x+4a,
设b=min{a-1,3},c=max{a-1,3};
故f(x)在(-∞,b)上是二次函数,在(b,c)上是一次函数,
在(c,+∞)上是二次函数;
故若f(x)的图象是中心对称图形,
则对称中心一定在区间(b,c)的中点,
在(-∞,b)上,f(x)=-2x2-ax+a(a+2)+4a,
在(c,+∞)上,f(x)=2x2+(a-4)x-a(a+2)+4a,
故-
a |
4 |
a-4 |
4 |
a+2 |
2 |
故a=-
2 |
3 |
故选:A.
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