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如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E在边AD上,G,F,H分别是BE,BC,CE的中点.(1)如图1,点E是边AD上任意一点,请直接填写四边形EGFH是什么样的特殊四边形:.(2)如图2,当点E在什
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如图,等腰梯形ABCD中,AD∥BC,点E在边AD上,G,F,H分别是BE,BC,CE的中点.
(1)如图1,点E是边AD上任意一点,请直接填写四边形EGFH是什么样的特殊四边形:______.
(2)如图2,当点E在什么位置时,四边形EGFH是菱形?并加以证明.
(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形,请探索线段EF与线段BC的关系,并证明你的结论.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/9922720e0cf3d7cabd4372c2f11fbe096a63a9c9.jpg)
(1)如图1,点E是边AD上任意一点,请直接填写四边形EGFH是什么样的特殊四边形:______.
(2)如图2,当点E在什么位置时,四边形EGFH是菱形?并加以证明.
(3)若(2)中的菱形EGFH是正方形,请探索线段EF与线段BC的关系,并证明你的结论.
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▼优质解答
答案和解析
(1)∵G,F,H分别是BE,BC,CE的中点,
∴GF∥EC,FH∥BE,
∴四边形EGFH是平行四边形;
(2)当点E是AD的中点时,四边形EGFH是菱形.
证明:∵G,F,H分别是BE,BC,CE的中点,
∴GF∥EH,GF=EH,
∴四边形EGFH是平行四边形,
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AB=DC,∠A=∠D,
在△ABE和△DCE中,
,
∴△ABE≌△DCE(SAS),
∴BE=CE,
∵G,H分别是BE,CE的中点,
∴EG=EH,
∴四边形EGFH是菱形;
(3)EF⊥BC,EF=
BC.
证明:∵四边形EGFH是正方形,
∴EG=EH,∠BEC=90°,
∵G,H分别是BE,CE的中点,
∴EB=EC,
∵F是BC的中点,
∴EF⊥BC,EF=
BC.
∴GF∥EC,FH∥BE,
∴四边形EGFH是平行四边形;
(2)当点E是AD的中点时,四边形EGFH是菱形.
证明:∵G,F,H分别是BE,BC,CE的中点,
∴GF∥EH,GF=EH,
∴四边形EGFH是平行四边形,
∵四边形ABCD是等腰梯形,
∴AB=DC,∠A=∠D,
在△ABE和△DCE中,
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∴△ABE≌△DCE(SAS),
∴BE=CE,
∵G,H分别是BE,CE的中点,
∴EG=EH,
∴四边形EGFH是菱形;
(3)EF⊥BC,EF=
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证明:∵四边形EGFH是正方形,
∴EG=EH,∠BEC=90°,
∵G,H分别是BE,CE的中点,
∴EB=EC,
∵F是BC的中点,
∴EF⊥BC,EF=
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