（2014•上海模拟）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10）．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A1，A2…A9和B1，B2…B9，连结OBi，过Ai做x轴的垂

Question

（2014•上海模拟）如图，在正方形OABC中，O为坐标原点，点A的坐标为（10，0），点C的坐标为（0，10）．分别将线段OA和AB十等分，分点分别记为A₁，A₂…A₉和B₁，B₂…B₉，连结OB_i，过A_i做x轴的垂线与OB_i交于点P_i（i∈N^*，1≤i≤9）．
（1）求证：点P_i（i∈N^*，1≤i≤9）都在同一条抛物线上，并求该抛物线E的方程；
（2）过点C做直线与抛物线E交于不同的两点M，N，若△OCM与△OCN的面积比为4：1，求直线的方程．
（3）倾斜角为a的直线经过抛物线E的焦点F，且与抛物线交于A、B两点，若α为锐角，作线段AB的垂直平分线m交y轴于点P，证明|FP|+|FP|cos2α为定值，并求此定值．

Answer 1

（1）证明：由题意，过Ai(i∈N*，1≤i≤9)且与x轴垂直的直线方程为
x=i．
∵B_i（10，i），∴直线OB_i的方程为y＝(i)/(10)x．
设P_i坐标为（x，y），由

x＝i

y＝(i)/(10)x

得：y＝(1)/(10)x2，即x²=10y，
∴P_i（i∈N^*，1≤i≤9）都在同一条抛物线上，
且抛物线E方程为x²=10y．
（2）依题意：直线的斜率存在，设直线的方程为y=kx+10，
联立

y＝kx+10

x2＝10y

得x²-10kx-100=0，
此时△=100k²+400＞0，直线与抛物线E恒有两个不同的交点M，N．
设M（x₁，y₁），N（x₂，y₂），则x₁+x₂=10k，x₁x₂=-100，
∵S_△OCM=4S_△OCN，∴|x₁|=4|x₂|．
又x₁x₂＜0，∴x₁=-4x₂．
分别代入

y＝kx+10

x2＝10y

，解得k=±(3)/(2)，
直线的方