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(如图1),点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果,那么称点P为线段AB的黄金分割点,设=k,则k就是黄金比,并且k≈0.618.(1)以图1中的AP为底,BP为腰得到等腰
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(如图1),点P将线段AB分成一条较小线段AP和一条较大线段BP,如果 ,那么称点P为线段AB的黄金分割点,设 =k,则k就是黄金比,并且k≈0.618. (1)以图1中的AP为底,BP为腰得到等腰△APB(如图2),等腰△APB即为黄金三角形,黄金三角形的定义为:满足 ≈0.618的等腰三角形是黄金三角形;类似地,请你给出黄金矩形的定义: ; (2)如图1,设AB=1,请你说明为什么k约为0.618; (3)由线段的黄金分割点联想到图形的“黄金分割线”,类似地给出“黄金分割线”的定义:直线l将一个面积为S的图形分成面积为S 1 和面积为S 2 的两部分(设S 1 <S 2 ),如果 ,那么称直线l为该矩形的黄金分割线.(如图3),点P是线段AB的黄金分割点,那么直线CP是△ABC的黄金分割线吗?请说明理由; (4)图3中的△ABC的黄金分割线有几条? |
▼优质解答
答案和解析
(1)见解析 (2)见解析 (3)见解析 (4)无数条 |
(1)满足 ≈0.618的矩形是黄金矩形; (2)由 =k得,BP=1×k=k,从而AP=1﹣k, 由 得,BP 2 =AP×AB, 即k 2 =(1﹣k)×1, 解得k= , ∵k>0, ∴k= ≈0.618; (3)因为点P是线段AB的黄金分割点,所以 , 设△ABC的AB上的高为h,则 , ∴ ∴直线CP是△ABC的黄金分割线. (4)由(2)知,在BC边上也存在这样的黄金分割点Q,则AQ也是黄金分割线,设AQ与CP交于点W,则过点W的直线均是△ABC的黄金分割线,故黄金分割线有无数条. (1)类比黄金三角形的定义进行定义; (2)(3)根据线段黄金分割点的概念和三角形的面积公式进行分析; (4)根据(2)中的结论,得到这样的直线有无数条. |
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