设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D={（x，y）|x2+y2≤1}上服从均匀分布，（Ⅰ）问X与Y是否相互独立；（Ⅱ）求X与Y的相关系数．

Question

设二维连续型随机变量（X，Y）在区域D={（x，y）|x²+y²≤1}上服从均匀分布，
（Ⅰ）问X与Y是否相互独立；
（Ⅱ）求X与Y的相关系数．

Answer 1

依题意，（X，Y）的联合密度为f(x，y)＝

(1)/(π)，(x，y)∈D

0，(x，y)∉D

（I）为判断X与Y的相互独立性，先要计算边缘密度f_X（x）与f_Y（y）．
fX(x)＝

∫

+∞ −∞

f(x，y)dy=

∫	√(1−x2) −√(1−x2)

(1)/(π)dx=(2√(1−x2))/(π)（|x|＜1）．
当|x|＞1时，f_X（x）=0．
类似地，有 fY(y)＝√(作业帮用户2017-10-03问题解析（I）先写出联合概率密度，然互算出边缘密度fX（x）与fY（y），检验两者的乘积是否等于联合概率密度；（Ⅱ）先求出Cov（X，Y）=E（XY）-EXEY，再根据相关系数的定义求解即可．名师点评本题考点：二维连续型随机变量的概率密度；根据联合概率密度求边缘概率密度；二维正态随机变量相互独立的充要条件；相关系数的定义．考点点评：此题考查二维均匀分布的概率密度、边缘概率密度的求法、随机变量是否独立的判断以及相关系数的求解，是基础知识点的综合，难度系数并不大．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)