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棱长为1的正方体ABCD-A1B1C1D1中,点M,N分别在线段AB1,BC1上,且AM=BN,给出以下结论:其中正确的结论的个数为()①AA1⊥MN②异面直线AB1,BC1所成的角为60°③四面体B1-D1CA的体积为13
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![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5882b2b7d0a20cf45885ce6875094b36acaf996b.jpg)
①AA1⊥MN
②异面直线AB1,BC1所成的角为60°
③四面体B1-D1CA的体积为
1 |
3 |
④A1C⊥AB1,A1C⊥BC1.
A.1
B.2
C.3
D.4
▼优质解答
答案和解析
对于①,分别作NE⊥BC,MF⊥AB,垂足分别为E、F,连结EF
由AM=BN利用正方体的性质,可得四边形MNEF为平行四边形
∴MN∥EF,可得MN∥平面ABCD
∵AA1⊥平面ABCD,∴AA1⊥MN,因此可得①正确;
对于②,连结B1D1、AD1,可得∠B1AD1就是异面直线AB1,BC1所成的角
∵△B1AD1是等边三角形,∴∠B1AD1=60°
因此异面直线AB1,BC1所成的角为60°,得到②正确;
对于③,四面体B1-D1CA的体积为
V=VABCD−A1B 1C1D1-4VB1−ABC=1-4×
=
,得到③正确;
对于④,根据A1B1⊥平面BB1C1C,得到A1B1⊥BC1,
由正方形BB1C1C中证出B1C⊥BC1,所以BC1⊥平面A1B1C,
结合A1C⊂平面A1B1C,得A1C⊥BC1,同理可证出A1C⊥AB1,从而得到④正确
综上所述,四个命题都是真命题
故选:D
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/b3119313b07eca803a7f0950922397dda144830a.jpg)
由AM=BN利用正方体的性质,可得四边形MNEF为平行四边形
∴MN∥EF,可得MN∥平面ABCD
∵AA1⊥平面ABCD,∴AA1⊥MN,因此可得①正确;
对于②,连结B1D1、AD1,可得∠B1AD1就是异面直线AB1,BC1所成的角
∵△B1AD1是等边三角形,∴∠B1AD1=60°
因此异面直线AB1,BC1所成的角为60°,得到②正确;
对于③,四面体B1-D1CA的体积为
V=VABCD−A1B 1C1D1-4VB1−ABC=1-4×
1 |
6 |
1 |
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对于④,根据A1B1⊥平面BB1C1C,得到A1B1⊥BC1,
由正方形BB1C1C中证出B1C⊥BC1,所以BC1⊥平面A1B1C,
结合A1C⊂平面A1B1C,得A1C⊥BC1,同理可证出A1C⊥AB1,从而得到④正确
综上所述,四个命题都是真命题
故选:D
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