如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点（I）求证：平面BCD；（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；（III）求点E到平面ACD的距离。

Question

如图，四面体ABCD中，O、E分别是BD、BC的中点

（I）求证： 平面BCD；
（II）求异面直线AB与CD所成角的余弦值；
（III）求点E到平面ACD的距离。

Answer 1

（I）证明：见解析；（II） （III）点E到平面ACD的距离为

试题分析：（I）欲证AO⊥平面BCD，根据直线与平面垂直的判定定理可知只需证AO与平面BCD内两相交直线垂直，而CO⊥BD，AO⊥OC，BD∩OC=O，满足定理；
（II）以O为原点，OB为x轴，OC为y轴，OA为z轴，建立空间直角坐标系，异面直线AB与CD的向量坐标，求出两向量的夹角即可；
（III）求出平面ACD的法向量，点E到平面ACD的距离转化成向量EC在平面ACD法向量上的投影即可．
（I）证明：连结OC


在 中，由已知可得
而       即
    平面
（II）取AC的中点M，连结OM、ME、OE，由E为BC的中点知
直线OE与EM所成的锐角就是异面直线AB与CD所成的角
在 中，

是直角 斜边AC上的中线，   
（III）设点E到平面ACD的距离为
   在 中，
   而
  点E到平面ACD的距离为
点评：解决该试题的关键是能对于空间中点线面的位置关系的研究，既可以运用几何方法来证明，也可以建立直角坐标系，借助于向量来得到。