在长方体中，，过、、三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体，且这个几何体的体积为．（1）求棱的长；（2）若的中点为，求异面直线与所成角

Question

在长方体 中， ，过 、 、 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ，且这个几何体的体积为 ．

（1）求棱 的长；
（2）若 的中点为 ，求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

Answer 1

在长方体 中， ，过 、 、 三点的平面截去长方体的一个角后，得到如图所示的几何体 ，且这个几何体的体积为 ．

（1）求棱 的长；
（2）若 的中点为 ，求异面直线 与 所成角的大小（结果用反三角函数值表示）．

（1）3（2）

试题分析：（1）设 ，由题设 ，
得 ，即 ，解得 ．
故 的长为 ．
（2）因为在长方体中 // ，所以 即为异面直线 与 所成的角（或其补角）．
在△ 中，计算可得 ，则 的余弦值为 ，
故异面直线 与 所成角的大小为 ．
点评：求异面直线所成的角，可通过转化为共面直线所成的角来求解，有时也可通过向量来求。