已知四边形ABCD为直角梯形，AD∥BC，∠ABC=90°,PA⊥平面AC，且PA=AD=AB=1,BC=2(1)求PC的长；(2)求异面直线PC与BD所成角的余弦值的大小；(3)求证:二面角B—PC—D为直二面角

Question

已知四边形 ABCD 为直角梯形， AD ∥ BC ，∠ ABC =90°, PA ⊥平面 AC ，且 PA = AD = AB =1, BC =2
(1)求 PC 的长；
(2)求异面直线 PC 与 BD 所成角的余弦值的大小；
(3)求证:二面角 B — PC — D 为直二面角. 

Answer 1

(1)  (2) PC 与 BD 所成角的余弦值为  (3)证明略

 因为 PA ⊥平面 AC ， AB ⊥ BC ,∴ PB ⊥ BC ,即∠ PBC =90°,由勾股定理得 PB = . 
∴ PC = .
(2)解: 如图，过点 C 作 CE ∥ BD 交 AD 的延长线于 E ，连结 PE ，则 PC 与 BD 所成的角为∠ PCE 或它的补角.

∵ CE = BD = ，且 PE =
∴由余弦定理得
cos PCE =
∴ PC 与 BD 所成角的余弦值为 .
(3）证明:设 PB 、 PC 中点分别为 G 、 F ，连结 FG 、 AG 、 DF ，

则 GF ∥ BC ∥ AD ，且 GF = BC =1= AD ，
从而四边形 ADFG 为平行四边形，
又 AD ⊥平面 PAB ，∴ AD ⊥ AG ，
即 ADFG 为矩形， DF ⊥ FG .
在△ PCD 中， PD = ， CD = ， F 为 BC 中点，
∴ DF ⊥ PC
从而 DF ⊥平面 PBC ，故平面 PDC ⊥平面 PBC ，
即二面角 B — PC — D 为直二面角.
另法（向量法）: (略)