如图，直三棱柱ABC-A1B1C1底面边长均为2，侧棱长为1，点D在棱A1C1上．（Ⅰ）若D为A1C1的中点，求证：直线BC1∥平面AB1D；（Ⅱ）设二面角A1-AB1-D的平面角为θ，A1D=λA1C1（0＜λ＜1），试探究当λ为

Question

如图，直三棱柱ABC-A₁B₁C₁底面边长均为√(2)，侧棱长为1，点D在棱A₁C₁上．
（Ⅰ）若D为A₁C₁的中点，求证：直线BC₁∥平面AB₁D；
（Ⅱ）设二面角A₁-AB₁-D的平面角为θ，

A1D

=λ

A1C1

（0＜λ＜1），试探究当λ为何值时，能使tanθ=2？

Answer 1

（Ⅰ）证明：连结A₁B交AB₁于点E，由E为A₁B中点，
连结DE，∵D是A₁C₁中点，
∴DE∥BC₁，
又DE⊂平面AB₁D，BC₁不包含于平面AB₁D，
∴BC₁∥平面AB₁D．
（Ⅱ）解法一：过点D作DM⊥A₁B₁于M，则DM⊥平面ABB₁A，
过点M作MN⊥AB₁于N，连结DN，则∠MND为二面角A₁-AB₁-D的平面角．（6分）
过点A₁作A₁F⊥AB₁于F，∵

A1D

=λ

A1C1

（0＜λ＜1），
∴(A1M)/(A1B1)=(A1Dcos60°)/(A1C1)=(λ)/(2)，DM=A₁Dsin 60°=(√(6))/(2)λ．（8分）
∵A₁A=1，A₁B₁=√(2)，则AB₁=√(3)，
∴A₁F=(A1A×A1B1)/(AB1)=(√(6))/(3)．（9分）
∵(MN)/(A1F)=

作业帮用户 2017-10-14

问题解析

（Ⅰ）连结A₁B交AB₁于点E，利用三角形中位线定理能证明BC₁∥平面AB₁D．
（Ⅱ）法一：过点D作DM⊥A₁B₁于M，则DM⊥平面ABB₁A，过点M作MN⊥AB₁于N，连结DN，则∠MND为二面角A₁-AB₁-D的平面角，由此能求出当λ=

(4)/(5)时，能使tan θ=2．
（Ⅱ）法二：以AB的中点O为的点，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出当λ=(4)/(5)时，能使tan θ=2．

名师点评

本题考点：

用空间向量求平面间的夹角；直线与平面平行的判定；二面角的平面角及求法．

考点点评：

本题考查直线与平面平行的证明，考查满足条件的点是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意空间思维能力的培养．

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