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如图一,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,D为AB中点,E为BC上一点,且DE⊥AB垂足为D.(1)求证:DE=EC;(2)如图二,点F在ED延长线上,连接BF,AF,作AF的垂直平分线交EC于点G,连接FG.请探究B
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如图一,Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,D为AB中点,E为BC上一点,且DE⊥AB垂足为D. ![](https://www.zaojiaoba.cn/zhidao/pic/item/d62a6059252dd42a8061931a003b5bb5c9eab813.jpg)
(1)求证:DE=EC;
(2)如图二,点F在ED延长线上,连接BF,AF,作AF的垂直平分线交EC于点G,连接FG.请探究BF与GF之间的数量关系,并证明你的结论.
![](https://www.zaojiaoba.cn/zhidao/pic/item/d62a6059252dd42a8061931a003b5bb5c9eab813.jpg)
(1)求证:DE=EC;
(2)如图二,点F在ED延长线上,连接BF,AF,作AF的垂直平分线交EC于点G,连接FG.请探究BF与GF之间的数量关系,并证明你的结论.
▼优质解答
答案和解析
(1)证明:如图1,连接AE,
∵D为AB中点,且DE⊥AB,
∴BE=AE,
∴∠DAE=∠B=30°,
∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,
∴∠EAC=30°,
∴∠DAE=∠CAE=30°,
∵DE⊥AB,EC⊥AC,
∴DE=EC.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fcfaaf51f3deb48f6448336ff31f3a292df5785a.jpg)
(2)BF=GF;
证明:作FI⊥BC于I,作FJ⊥AC于J,连接AG,
设BI=x,IG=y,FI=z,AC=1,则BC=
,
在RT△BFI中,BF2=BI2+FI2=x2+z2,
在RT△FGI中,FG2=FI2+GI2=z2+y2,
在RT△AFJ中,AF2=AJ2+FJ2=(1-z)2+(
-x)2,
在RT△AGC中,AG2=AC2+GC2=1+(
-x-y)2,
∵D为AB中点,且DE⊥AB,
∴BF=FA,
∵作AF的垂直平分线交EC于点G,
∴FG=AG,
∴x2+z2=(1-z)2+(
-x)2,z2+y2=1+(
-x-y)2,
联立这两个方程得:x2-
x+
y-xy=0,
即x=y,
∴I是BG的中点,
∵FI⊥BC于I,
∴BF=GF.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/5ab5c9ea15ce36d37a6c118139f33a87e950b113.jpg)
∵D为AB中点,且DE⊥AB,
∴BE=AE,
∴∠DAE=∠B=30°,
∵Rt△ABC中,∠C=90°,∠B=30°,
∴∠BAC=60°,
∴∠EAC=30°,
∴∠DAE=∠CAE=30°,
∵DE⊥AB,EC⊥AC,
∴DE=EC.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/fcfaaf51f3deb48f6448336ff31f3a292df5785a.jpg)
(2)BF=GF;
证明:作FI⊥BC于I,作FJ⊥AC于J,连接AG,
设BI=x,IG=y,FI=z,AC=1,则BC=
3 |
在RT△BFI中,BF2=BI2+FI2=x2+z2,
在RT△FGI中,FG2=FI2+GI2=z2+y2,
在RT△AFJ中,AF2=AJ2+FJ2=(1-z)2+(
3 |
在RT△AGC中,AG2=AC2+GC2=1+(
3 |
∵D为AB中点,且DE⊥AB,
∴BF=FA,
∵作AF的垂直平分线交EC于点G,
∴FG=AG,
∴x2+z2=(1-z)2+(
3 |
3 |
联立这两个方程得:x2-
3 |
3 |
即x=y,
∴I是BG的中点,
∵FI⊥BC于I,
∴BF=GF.
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