如图，在直三棱柱A1B1C1-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA1=4，点D是BC的中点．（Ⅰ）求证：A1B∥平面ADC1；（Ⅱ）求平面ADC1与ABA1所成二面角的平面角的正弦值．

Question

如图，在直三棱柱A₁B₁C₁-ABC中，AB⊥AC，AB=AC=2，AA₁=4，点D是BC的中点．
（Ⅰ）求证：A₁B∥平面ADC₁；
（Ⅱ）求平面ADC₁与ABA₁所成二面角的平面角的正弦值．

Answer 1

（Ⅰ）证明：连接A₁C，交C₁A于E，则E为A₁C的中点，又点D是BC的中点，
所以DE∥A₁B，…（3分）
又DE⊂平面ADC₁，A₁B⊄平面ADC₁，故A₁B∥平面ADC₁．          …（5分）
（Ⅱ）如图建立空间直角坐标系A-xyz，

则A（0，0，0），C（0，2，0），D（1，1，0），C₁（0，2，4），…（6分）

AC

=（0，2，0）是平面ABA₁的一个法向量，…（7分）
设平面ADC₁的法向量

m

=（x，y，z）．
∵

AD

=（1，1，0），

AC1

=（0，2，4），
∴

x+y＝0

2y+4z＝0

．
取z=1，得y=-2，x=2
∴平面ADC₁的法向量

m

=（2，-2，1），…（9分）
平面ADC₁与ABA₁所成的二面角为θ，
∴|cosθ|=|(−4)/(2×3)|=(2)/(3)．…（11分）
从而sinθ=(√(5))/(3)，即平面ADC₁与ABA₁所成二面角的正弦值为(√(5))/(3)  …（13分）