如图，在直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA1=2，E，E1，F分别是棱AD，AA1，AB的中点．（1）证明：直线EE1∥平面FCC1；（2）求二面角B-FC1-C的余弦值．

Question

如图，在直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为等腰梯形，AB∥CD，AB=4，BC=CD=2，AA₁=2，E，E₁，F分别是棱AD，AA₁，AB的中点．
（1）证明：直线EE₁∥平面FCC₁；
（2）求二面角B-FC₁-C的余弦值．

Answer 1

（1）∵F为AB的中点，CD=2，AB=4，AB∥CD，∴CD∥AF，
∴四边形AFCD为平行四边形，∴AD∥FC．
又CC₁∥DD₁，FC∩CC₁=C，FC⊂平面FCC₁，CC₁⊂平面FCC₁，
∴平面ADD₁A₁∥平面FCC₁，
又EE₁⊂平面ADD₁A₁，∴EE₁∥平面FCC₁．
（2）过D作DR⊥CD交于AB于R，以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系．
则F（√(3)，1，0），B（√(3)，3，0），C（0，2，0），C₁（0，2，2），
∴

FB

=（0，2，0），

BC1

=（-√(3)，-1，2），

DB

=（√(3)，3，0）．
由FB=CB=CD=DF，∴四边形BCEF是菱形，∴DB⊥FC．
又CC₁⊥平面ABCD，
∴

作业帮用户 2017-10-30

问题解析

（1）可以通过证明面面平行来证明线面平行；
（2）通过建立空间直角坐标系，先求出两个平面的法向量，则两个平面的法向量的夹角即为两平面的二面角或其补角．

名师点评

本题考点：

直线与平面平行的判定；棱柱、棱锥、棱台的体积．

考点点评：

熟练掌握利用面面平行来证明线面平行、利用两个平面的法向量的夹角求两平面的二面角是解题的关键..

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