如图：在直三棱柱ABC-DEF中，AB=2，AC=AD=23，AB⊥AC，（1）证明：AB⊥DC，（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

Question

如图：在直三棱柱ABC-DEF中，AB=2， AC=AD=2

3

，AB⊥AC，
（1）证明：AB⊥DC，
（2）求二面角A-DC-B的余弦值．

Answer 1

（1）在直三棱柱ABC-DEF中，则AD⊥AB，
又∵AB⊥AC，AD∩AC=A．
∴AB⊥平面ACFD，
∴AB⊥CD．
（2）由（1）可得：四边形ACFD为正方形，
连接对角线AF、CD相较于点M，则AM⊥CD．
又∵AB⊥平面ACFD，根据三垂线定理可得CD⊥BM．
∴∠AMB是二面角A-DC-B的平面角．
∵AM= (1)/(2) ×2

3

×

2

=

6

，∴ BM=

A B 2 +A M 2

=

2 2 +(

6

) 2

=

10

．．
∴在Rt△ABM中， cos∠AMB=(AM)/(BM) = (6)/(10) = (60)/(10) ．
故二面角A-DC-B的余弦值为 (60)/(10) ．