如图，直四棱柱ABCD-A1B1C1D1中，底面ABCD为梯形，AB平行于CD，AD＝DC＝DD1＝12AB＝1，AD1⊥A1C，E是A1B1中点．（1）求证：CD⊥A1D1．（2）求二面角C-D1E-B1的大小．

Question

如图，直四棱柱ABCD-A₁B₁C₁D₁中，底面ABCD为梯形，AB平行于CD，AD＝DC＝DD1＝(1)/(2)AB＝1，AD₁⊥A₁C，E是A₁B₁中点．
（1）求证：CD⊥A₁D₁．
（2）求二面角C-D₁E-B₁的大小．

Answer 1

（1）∵ABCD-A₁B₁C₁D₁是直四棱柱且AD=DD₁；
∴四边形AA₁D₁D是正方形，∴AD₁⊥A₁D，
∵AD₁⊥A₁C，A₁D∩A₁C=A₁；
∴AD₁⊥平面DA₁C；∴AD₁⊥DC（4分）
∵DD₁⊥DC，DD₁∩AD₁=D₁；
∴DC⊥平面AA₁D₁D；∴DC⊥A₁D₁（6分）
（2）由（1）知以D₁为坐标原点，建立空间直角坐标系；C（0，1，1）；E（1，1，0）；

D1C

＝(0，11)；

D1E

＝(1，1，0)（8分）
由题意，平面D₁EB₁的法向量为

D1D

=（0，0，1）
设平面CD₁E的法向量

n

=（x，y，z），则

y+z＝0

x+y＝0

⇒√(作业帮用户2017-11-15问题解析（1）由题意知四边形AA1D1D是正方形，得AD1⊥平面DA1C，即AD1⊥DC，可证DC⊥平面AA1D1D得 DC⊥A1D1．（2）根据（1）的结论，利用垂直关系建立坐标系，求平面CD1E的法向量，用向量的数量积求二面角的余弦值．名师点评本题考点：空间中直线与直线之间的位置关系；与二面角有关的立体几何综合题．考点点评：本题用了线面垂直的定理及定义进行线线垂直、线面垂直的转化；借助垂直关系建立坐标系，求出平面的法向量，利用向量数量积求二面角的余弦值，注意二面角的大小．扫描下载二维码©2019 作业帮 联系方式：[e-mail]作业帮协议)