选修4-4：坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为（t为参数），曲线C的参数方程为（θ为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点，又点P的坐标为（1，2）．求：（1）线段AB的中点坐

Question

选修4-4：坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为 （t为参数），曲线C的参数方程为 （θ为参数），直线l与曲线C相交于A，B两点，又点P的坐标为（1，2）．
求：（1）线段AB的中点坐标；
（2）线段AB的长；
（3）|PA-PB|的值．

Answer 1

【答案】分析：先将直线的参数方程化为（l为参数）的形式，此时，|l|的几何意义为（a，b）点到（x，y）的距离，（1）设点A对应的参数为l1，点B对应的参数为l2，将直线的参数方程代入曲线，利用韦达定理即可得l1+l2，而即为AB中点对应的参数，代入参数方程可得中点坐标；（2）AB的长度即为AB参数差的绝对值，利用韦达定理代入求值即可；因为点P（1，2）在直线上，且点P在椭圆内，故A、B两点分布在点P两侧，即l1与l2异号，所以|PA-PB|的值即为l1+l2的绝对值，代入求值即可由题意可知，直线l的斜率为-，倾斜角为∴直线l的参数方程可改写为（l为参数，|l|的几何意义为（1，2）点到（x，y）的距离），曲线C的普通方程为，将直线方程代入曲线C的方程可得，，设点A对应的参数为l1，点B对应的参数为l2，∵△＞0，∴，，由参数l的几何意义得（1）中点对应的参数为，代入直线参数方程得∴线段AB中点坐标为；（2）弦AB的长为AB=|l1-l2|===；（3）∵点P（1，2）在直线上，且点P在椭圆内，故A、B两点分布在点P两侧，即l1与l2异号∴．点评：本题考查了直线的参数方程，参数的几何意义及其应用，椭圆的参数方程及其与一般方程的互化，韦达定理在解决解析几何问题中的重要应用