已知三次方程有三个实数根，它们分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是．

Question

已知三次方程有三个实数根，它们分别可作为抛物线、双曲线、椭圆的离心率，则实数a的取值范围是____．

Answer 1

【分析】根据抛物线的离心率为1，得到b=-a-3，将其代入方程，将方程因式分解，根据题意，转化为二次方程的实根分布，结合二次函数的图象写出限制条件．

因为抛物线的离心率为1，
所以1是方程x³+ax²+2x+b=0的根，
可知b=-a-3，
x³+ax²+x+b=(x-1)[x²+(a+1)x+a+3]=0，
又椭圆的离心率大于0小于1，双曲线大于1，
所以x²+(a+1)x+a+3=0的两根分别在(0，1)和(1，+∞)上
令g(x)=x²+(a+1)x+a+3，
则，
解得
故答案为：

【点评】本题考查圆锥曲线的离心率的范围，考查二次方程的实根分布问题，属于中档题．