在真空中的xOy平面内，有一磁感强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场．过原点O的直线MN是磁场的边界，其斜率为k．在坐标原点O处有一电子源，能在xOy平面内朝某一方向向磁场发射

Question

在真空中的xOy平面内，有一磁感强度大小为B、方向垂直于纸面向里的匀强磁场．过原点O的直线MN是磁场的边界，其斜率为k．在坐标原点O处有一电子源，能在xOy平面内朝某一方向向磁场发射不同速率的电子，电子的质量为m、电荷量为q，电子重力不计．

（1）若某一电子从MN上的A点离开磁场时的速度方向平行于x轴，AO的距离为L，求电子射入磁场时的速率；
（2）若在直线MN的右侧加一水平向右的匀强电场（图中未画出），电场强度大小为E；保持电子源向磁场发射电子的速度方向不变，调节电子源，使射入磁场的电子速率在0和足够大之间均有分布．请画出所有电子第一次到达MN右侧最远位置所组成的图线；并通过计算求出任一电子第一次到达MN右侧最远位置的横坐标x和纵坐标y的关系式．

Answer 1

（1）设直线MN与x轴正方向的夹角为θ，则k=tanθ，sinθ=(k)/(√(1+k2))…①
设从A点离开磁场的电子在磁场中运动的半径为r，由几何关系得r=(L)/(2sinθ)…②
电子射入磁场时的速率为v，根据牛顿第二定律qvB=m(v2)/(r)…③
联立①②③得v=(qBL√(1+k2))/(2mk)…④
（2）曲线如图所示

所有电子从MN上的点离开磁场时速度方向都平行于x轴，电子进入电场作匀减速直线运动，设曲线上的点P（x，y）
电子匀减速直线运动的加速度为a=(qE)/(m)…⑤
根据运动学公式得v2=2a(x-(y)/(k))…⑥
根据几何关系得((y)/(k))2+(r-y)2=r2…⑦
qvB=m(v2)/(r)…⑧
联立⑤⑥⑦⑧解得x=(y2)/(k′)+(y)/(k)（其中k′=(8k4mE)/((1+k2)2qB2)）
答：
（1）电子射入磁场时的速率为v=(qBL√(1+k2))/(2mk)
（2）图线见解析，横坐标x和纵坐标y的关系式为x=(y2)/(k′)+(y)/(k)（其中k′=(8k4mE)/((1+k2)2qB2)）