变化方向的力能否微分成固定方向的力来计算力矩?力矩的公式：M=rxF（r跟F都是带方向的）,而在刚体转轴运动中……一根匀质木棒绕中点旋转……其中匀质木棒可看成质点的集合∫dm……木

Question

变化方向的力能否微分成固定方向的力来计算力矩?
力矩的公式：M=rxF （r跟F都是带方向的）,而在刚体转轴运动中……一根匀质木棒绕中点旋转……其中匀质木棒可看成质点的集合∫dm……木棒与平面有摩擦力……因为是转轴运动……所以摩擦力的方向应该是不断变化的……而由于每一质点的力臂都是不同的……所以摩擦力矩的大小不能用M=Fd来解……只能采用M=rxF……木棒的初始位置在x方向上……取木棒上的一个质点……此小质点的摩擦力为df=kdmg（k为摩擦系数,dmg为该质点所受正压力,大小跟重力相等,df为每一小质点所受摩擦力大小）由于木棒可以看成一维质量分布……dm又可以表示为dm=λdx（λ为线密度系数）……则每一质点的力矩为：dMf=xdf=xkλdxg……（x相当于M=rxF中的r,因为在x方向,所以用x表示）,对每一小质点的力矩进行积分后即可得到总的摩擦力的力矩……问题是……公式M=rxF的每一个量都是矢量力……摩擦力作为一个方向不断变化的力……是否能微分成固定方向的力来计算它的力矩?

Answer 1

省略号太多了!你应该把问题详细地表述出来.如果我理解没错的话,你是考虑一根木板在平面上绕某个轴转动的摩擦力?
你把木板分成很多小部分,计算每一部分力矩,然后积分,这原则上是可以的.但是看起来你并不了解M=rxF的意义.
假设就是在一块平面上,我们建立一个平面直角坐标系,假设木块上一小部分坐标为(x(t),y(t)),那他们的速度为(x'(t),y'(t)),'代表导数.那么矢量r=（x(t),y(t)）,摩擦力跟速度方向相反,所以矢量F=mgλ/v*(-x'(t),-y'(t)),其中v为支点速度sqrt(x'(t)*x'(t)=y'(t)*y'(t)).
rxF为r与F的外积,数值上位mgλ/v*(x'(t)y(t)-x(t)y'(t)),方向沿z方向(x,y,z为右手系).然后你需要对各个支点的dm*(x'(t)y(t)-x(t)y'(t))/v积分(表示单位某质量微元受的力矩大小),再乘以gλ.
你的计算方法问题就出在dMf=xdf=xkλdxg,力矩的微元不等于xdf!错误之一在于x不是常数不能直接提取出来；错误之二在于力矩是个矢量,它的大小并一定不得愈r的大小乘以F的大小,而是还要乘以个r与F夹角的正弦值!