如图所示，在直三棱柱ABC-A1B1C1中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB1=3a，D是A1C1的中点，点F在线段AA1上，当AF=时，CF⊥平面B1DF．

Question

如图所示，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面是∠ABC为直角的等腰直角三角形，AC=2a，BB₁=3a，D是A₁C₁的中点，点F在线段AA₁上，当AF= ___ 时，CF⊥平面B₁DF．

Answer 1

由已知得B₁D⊥平面AC₁，
又CF⊂平面AC₁，∴B₁D⊥CF，
故若CF⊥平面B₁DF，则必有CF⊥DF．
设AF=x（0＜x＜3a），则CF²=x²+4a²，
DF²=a²+（3a-x）²，又CD²=a²+9a²=10a²，
∴10a²=x²+4a²+a²+（3a-x）²，
解得x=a或2a．
故答案为：a或2a．