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叙述椭圆的定义,并推导椭圆的标准方程.
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叙述椭圆的定义,并推导椭圆的标准方程.
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答案和解析
椭圆的定义:平面内到两个定点F1,F2距离之和为定值(定值大于两定点的距离)的点的集合(或轨迹)为椭圆.F1,F2称为椭圆的两个焦点.…(3分)
设|F1F2|=2c(c>0),定值为2a,(a>0),a>c>0,
取F1F2所在的直线为x轴,线段F1F2的中点为坐标原点O,
建立直角坐标系,设动点M(x,y),
则F1(-c,0),F2(c,0)…(5分)
由已知条件有|MF1|+|MF2|=2a,
将坐标代入有
+
=2a,…(7分)
化简整理得:
+
=1,
∵a>c>0,∴令a2-c2=b2,(b>0)
∴
+
=1,(a>b>0),…10分
∴焦点在x轴的椭圆的标准方程为
+
=1(a>b>0)
如果取F1F2所在的直线为y轴,
则椭圆的标准方程为
+
=1(a>b>0).…(12分)
设|F1F2|=2c(c>0),定值为2a,(a>0),a>c>0,
取F1F2所在的直线为x轴,线段F1F2的中点为坐标原点O,
建立直角坐标系,设动点M(x,y),
则F1(-c,0),F2(c,0)…(5分)
由已知条件有|MF1|+|MF2|=2a,
将坐标代入有
(x+c)2+y2 |
(x-c)2+y2 |
化简整理得:
x2 |
a2 |
y2 |
a2-c2 |
∵a>c>0,∴令a2-c2=b2,(b>0)
∴
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
∴焦点在x轴的椭圆的标准方程为
x2 |
a2 |
y2 |
b2 |
如果取F1F2所在的直线为y轴,
则椭圆的标准方程为
y2 |
a2 |
x2 |
b2 |
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