如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB=2a，CE=2CD．（1）求证：平面CDE⊥平面ADE；（2）求多面体ABCDE的体积．

Question

如图，在空间多面体ABCDE中，四边形ABCD为直角梯形，AB∥DC，AD⊥CD，△ADE是正三角形，CD=DE=2AB=2a，CE=√(2)CD．

（1）求证：平面CDE⊥平面ADE；
（2）求多面体ABCDE的体积．

Answer 1

证明：（1）∵CD=DE，CE=√(2)CD，
∴CD²+DE²=CE²，
∴CD⊥DE，
又CD⊥AD，AD⊂平面ADE，DE⊂平面ADE，AD∩DE=D，
∴CD⊥平面ADE，又CD⊂平面CDE，
∴平面CDE⊥平面ADE．
（2）过E作EG⊥AD，垂足为G，
∵CD⊥平面ADE，GE⊂平面ADE，
∴CD⊥GE，
又GE⊥AD，AD⊂平面ABCD，CD⊂平面ABCD，AD∩CD=D，
∴GE⊥平面ABCD．
∵△ADE是等边三角形，DE=2a，
∴GE=√(3)a．
∵S_梯形ABCD=(1)/(2)（AB+CD）•AD=(1)/(2)×（a+2a）•2a=3a²．
∴多面体ABCDE的体积V=V_E-ABCD=(1)/(3)S梯形ABCD•EG=(1)/(3)×3a2×√(3)a=√(3)a³．