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证明：（a,b）上的连续函数为一致连续的充要条件是f(a+0),f(b-0)存在
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证明：（a,b）上的连续函数为一致连续的充要条件是f(a+0),f(b-0)存在
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答案和解析
不知道可以不可以用这个结论:闭区间上的连续函数是一致连续的,如果可以用那么直解定义
F(x)=f(x) x in(a,b)
F(a)=f(a+0) F(b)=f(b-0) 那么F(x)是在[a,b]上的连续的,所以F(x)在[a,b]上一致连续,f(x)在(a,b)上一致连续
若不能这样做,先证 f(x)在(a,b)上一定是有界的 这个很容易
因为 若 任取M>0 都存在 x属于(a,b) f(x)>M 的话 那么一定存在 x0 in [a,b] lim_x->x0f(x)=∞
这与f(x)在a,b上连续矛盾(这一步可能有点简略)
则f(x)在(a,b)上有界,不妨设 |f(x)|
F(x)=f(x) x in(a,b)
F(a)=f(a+0) F(b)=f(b-0) 那么F(x)是在[a,b]上的连续的,所以F(x)在[a,b]上一致连续,f(x)在(a,b)上一致连续
若不能这样做,先证 f(x)在(a,b)上一定是有界的 这个很容易
因为 若 任取M>0 都存在 x属于(a,b) f(x)>M 的话 那么一定存在 x0 in [a,b] lim_x->x0f(x)=∞
这与f(x)在a,b上连续矛盾(这一步可能有点简略)
则f(x)在(a,b)上有界,不妨设 |f(x)|
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