如何理解“导数”、“瞬时速度”和“点的斜率”?我的疑问很简单：既然“速度”是“描述物体运动快慢和方向的物理量”（维基百科）,那么,当时间间隔为0（即某时刻）时,运动难道不是

Question

如何理解“导数”、“瞬时速度”和“点的斜率”?
我的疑问很简单：既然“速度”是“描述物体运动快慢和方向的物理量”（维基百科）,那么,当时间间隔为0（即某时刻）时,运动难道不是停止了吗?运动既已停止,又何来的“快慢”和“方向”呢?平均速度的概念很好理解：“物体在一段时间里的位移Δs和时间间隔Δt之比”（维基百科）,换而言之,就是一段时间里物体运动的位移.比如1m/s,即该物体1秒里运动了1米.怎样去理解第3秒末物体的瞬时速度呢?在任何一刻,物体的位置难道不都是固定的吗?这又扯到了芝诺的“飞矢不动”悖论.我不情愿,但问已至此.传统的分析学是不承认“无穷小”的存在的.那物理学中的“时刻”或“瞬间”又该如何理解呢?数学中的“极限”概念给了人很大方便.我们不必考虑函数（或数列）能否达到极限,它可以不存在.那具体到物理学中呢?“瞬时速度”是真实存在的吗?或者说,能达到“瞬时速度”吗?我隐约觉得,“瞬时速度”中的“速度”与“平均速度”中的“速度”不同,但具体区别在哪,我想不清楚.至于“导数”,维基百科中,点击“变化率”条目会自动跳转到“导数”.我当然晓得“导数”就是“瞬时变化率”.我只是奇怪,函数某一具体的点哪有“变化”呢?要谈“变化”,须与其他主体作比较.一个点有何可与之作比较呢?至于某些教材中“点的斜率”的说法,更令我费解.过某点的割线斜率,我当然懂（不然我不会进入微分世界）；过某点的切线斜率,也勉强能理解.只是不知一个孤零零的点有何斜率可谈呢?是省略了的说法呢,还是有其他原因呢?同样地,既然不存在“无穷小”,几何中的“点”又如何理解呢?既然线、面积都不是由所谓的“微元”构成的（因为不存在“无穷小”）,那它们又是怎么来的呢?不要拿“点动成线”、“线动成面”来糊弄我.

Answer 1

这是 潜无限和实无限 之争,据我所知目前还在争论.芝诺悖论隐式使用了潜无限的思想,但潜无限的思想往往与直觉相悖,所以人们很难理解.一般认为解决芝诺悖论的关键是承认世界是离散的,存在最小单元( Planck units ),不能无限分割.
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