（2013•绵阳二模）已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）（Ⅰ）求g（x）=f(x+1)x+1−x(x∈(−1，+∞))的单调区间与极大值；（Ⅱ）任取两个不等的正数x1，x2，且x1＜x2，若存在x0＞0使f′（x0）=f(x2)

Question

（2013•绵阳二模）已知函数f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）
（Ⅰ）求g（x）=(f(x+1))/(x+1)−x(x∈(−1，+∞))的单调区间与极大值；
（Ⅱ）任取两个不等的正数x₁，x₂，且x₁＜x₂，若存在x₀＞0使f′（x₀）=(f(x2)−f(x1))/(x2−x1)成立，求证：x₁＜x₀＜x₂
（Ⅲ）己知数列{a_n}满足a₁=1，a_n+1=（1+(1)/(2n)）a_n+(1)/(n2)（n∈N₊），求证：a_n＜e(11)/(4)（e为自然对数的底数）．

Answer 1

（Ⅰ）由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞））．
∴f（x+1）=（x+1）ln（x+1）（x∈（-1，+∞））．
则有g(x)＝(f(x+1))/(x+1)−x=((x+1)ln(x+1))/(x+1)−x=ln（x+1）-x，
此函数的定义域为（-1，+∞）．
g′(x)＝(1)/(x+1)−1＝−(x)/(x+1)．
故当x∈（-1，0）时，g′（x）＞0；当x∈（0，+∞）时，g′（x）＜0．
所以g（x）的单调递增区间是（-1，0），单调递减区间是（0，+∞），
故g（x）的极大值是g（0）=0；
（Ⅱ）证明：由f（x）=xlnx（x∈（0，+∞）），得f′（x）=lnx+1，
所以lnx0+1＝(f(x2)−f(x1))/(x2−x1)，
于是lnx0−lnx2＝(f(x2)−f(x1))/(x2−x1)−lnx2−1=(x2lnx2−x1lnx1)/(x2−x1)−lnx2−1
=(x1lnx2−x1lnx1)/(x2−x1)−1＝(ln(x2)/(x1))/((x2)/(x1)−1)−1，
令(x2)/(x1)＝t（t＞1），则h(t)＝(lnt)/(t)−1＝(ln−t+1)/(t−1)，
因为t-1＞0，只需证明lnt-t+1＜0．
令s（t）=lnt-t+1，则s′(t)＝(1)/(t)−1＜0，
∴s（t）在t∈（1，+∞）上递减，所以s（t）＜s（1）=0，
于是h（t）＜0，即lnx₀＜lnx₂，故x₀＜x₂．
同理可证x₁＜x₀，故x₁＜x₀＜x₂．
（Ⅲ）证明：因为a₁=1，an+1

作业帮用户 2017-09-27