1/(3+(sinx)^2)的不定积分1/(1+tanx)的不定积分1/((5+4sinx)cosx)的不定积分会做其中的一题也成

Question

1/(3+(sinx)^2)的不定积分
1/(1+tanx)的不定积分
1/((5+4sinx)cosx)的不定积分
会做其中的一题也成

Answer 1

1） ∫1/(3+(sinx)^2)dx= ∫1/(cosx)^2* 1/[3(secx)^2+(tanx)^2)]dx
= ∫ 1/[3+4(tanx)^2) ]d(tanx)
= ∫ 1/4 * 1/[3/4+(tanx)^2) ]d(tanx)
=1/4*2/根号(3)*arctan(2/根号(3)*tanx)
=根号(3)/6*arctan(2根号(3)/3 *tanx)
2)∫ 1/[1+tanx ]dx=∫ [(1+(tanx)^2)]*[(1+(tanx)^2)(1+tanx )]dx
=∫1/[(1+(tanx)^2)(1+tanx )]d(tanx)
=∫1//[(1+t^2)(1+t)]dt
=∫ 1/2*1/(1+t)+1/2*(1-t)/(1+t^2)dt
=1/2*ln|1+t|+1/2*arctant-1/4*ln(1+t^2)+C
=1/2*ln|1+tanx|+1/2*x-1/4*ln(1+(tanx)^2)+C
3)∫ 1/((5+4sinx)cosx) dx
=∫cosx/((5+4sinx)(cosx)^2) dx
=∫1/((5+4sinx)(1-(sinx)^2) )d(sinx)
=∫1/((5+4s)(1-s^2) )ds
=∫1/18*1/(1-s)-16/9*1/(1+s)+1/2*1/(5+4s) ds
=-1/18*ln|1-s|-16/9*ln|1+s|+1/8*ln|5/4+s|+C
=-1/18*ln|1-sinx|-16/9*ln|1+sinx|+1/8*ln|5/4+sinx|+C