在几何体ABCDE中，∠BAC＝π2，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1，（I）求证：DC∥平面ABE；（II）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l∥平面BCDE；（III）设F是BC的中点，求证：平面

Question

在几何体ABCDE中，∠BAC＝(π)/(2)，DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，AB=AC=BE=2，CD=1，
（I）求证：DC∥平面ABE；
（II）设平面ABE与平面ACD的交线为直线l，求证：l∥平面BCDE；
（III）设F是BC的中点，求证：平面AFD⊥平面AFE．

Answer 1

（I）证明：∵DC⊥平面ABC，EB⊥平面ABC，∴DC∥EB，
又∵DC⊄平面ABE，EB⊂平面ABE，∴DC∥平面ABE．
（II）∵CD⊥平面ABC，BE⊥平面ABC∴CD∥BE，∴CD∥平面ABE．  又l=平面ACD∩平面ABE．∴CD∥l．
又l⊄平面BCDE，CD⊂平面BCDE，∴l∥平面BCDE．
（III）∵F是BC的中点，∵CD⊥平面ABC，∴CD⊥AF．∵AB=AC，F是BC的中点，∴AF⊥BC，AF⊥平面BCDE．
∴AF⊥DF，AF⊥EF，∴∠DFE是面AFD和面AFE所成二面角的平面角．
在△DEF中，FD=√(3)，FE＝√(6)，DE＝3，FD⊥FE，即∠DFE=90°，∴平面AFD⊥平面AFE．