解析几何（椭圆）已知椭圆C1:x^2/a^2=1(a＞b＞0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点,MN是圆C2：x^2+(y-3)^2=1的一条直径,若与AF平行且在y轴上的截距为3-根号2的直线L恰好与圆C2相切.1.求椭圆C1的离

Question

解析几何（椭圆）
已知椭圆C1:x^2/a^2=1(a＞b＞0)的右焦点为F,上顶点为A,P为C1上任一点,MN是圆C2：x^2+(y-3)^2=1的一条直径,若与AF平行且在y轴上的截距为3-根号2的直线L恰好与圆C2相切.
1.求椭圆C1的离心率
2.若向量PM*向量PN的最大值为49,求椭圆C1的方程
3.若过椭圆C1的右焦点为F的直线L交椭圆C1的于两点S,T,交y轴于R点,若向量RS=λ1向量SF,向量RT=λ2向量TF,求证λ1+λ2是定值
（只要第三小题的过程）

Answer 1

由1.知 a²=2c²,b²=c²
所以椭圆方程可化为x²+2y²=2c²
由题意知l的斜率一定存在,设l:y=k(x-c),S(x₁,y₁).T(x₂,y₂)
则R(0,-ck)
联立得(1+2k²)x²-4ck²x+2c²k²-2c²=0
Δ=...>0恒成立
由韦达定理,x₁+x₂=4ck²/(1+2k²).x1x2=(2c²k²-2c²)/(1+2k²)
向量RS=(x1,y1+ck).SF=(c-x1,-y1).RT=(x2,y2+ck).TF=(c-x2,-y2)
由题意,x1=λ1(c-x1).x2=λ2(c-x2)
所以λ1+λ2=x1/(c-x1)+x2/(c-x2)=[c(x1+x2)-2x1x2]/[x1x2-c(x1+x2)+c²]
然后把x1+x2,x1x2.代入整理可得λ1+λ2=-4
- -结果不知道对不对.但方法是这样的