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高中数学解析几何专题汇编题(经典题真题模拟题)越多越好答案要精确解析.

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高中数学解析几何专题汇编题(【经典题】【真题】【模拟题】) 越多越好 答案要精确解析.
▼优质解答
答案和解析
21. (1)因为e1e2=32,所以a2-b2a•a2+b2a=32,即a4-b4=34a4,因此a2=2b2,从而F2(b,0),
F4(3b,0),于是3b-b=|F2F4|=3-1,所以b=1,a2=2.故C1,C2的方程分别为x22+y2=1,x22-y2=1.


(2)因AB不垂直于y轴,且过点F1(-1,0),故可设直线AB的方程为x=my-1,由x=my-1,x22+y2=1得(m2+2)y2-2my-1=0.
易知此方程的判别式大于0.设A(x1,y1),B(x2,y2),则y1,y2是上述方程的两个实根,所以y1+y2=2mm2+2,y1y2=-1m2+2.
因此x1+x2=m(y1+y2)-2=-4m2+2,于是AB的中点为M-2m2+2,mm2+2,故直线PQ的斜率为-m2,PQ的方程为y=-m2x,即mx+2y=0.
由y=-m2x,x22-y2=1得(2-m2)x2=4,所以2-m2>0,且x2=42-m2,y2=m22-m2,从而|PQ|=2x2+y2=2m2+42-m2.设点A到直线PQ的距离为d,则点B到直线PQ的距离也为d,所以2d=|mx1+2y1|+|mx2+2y2|m2+4.因为点A,B在直线mx+2y=0的异侧,所以(mx1+2y1)(mx2+2y2)0)相交于A,B两点,若M是线段AB的中点,则椭圆C的离心率等于________.
15.22 
15.[2014•辽宁卷] 已知椭圆C:x29+y24=1,点M与C的焦点不重合.若M关于C的焦点的对称点分别为A,B,线段MN的中点在C上,则|AN|+|BN|=______.
15.12 
20.、[2014•辽宁卷] 圆x2+y2=4的切线与x轴正半轴,y轴正半轴围成—个三角形,当该三角形面积最小时,切点为P(如图1­6所示).双曲线C1:x2a2-y2b2=1过点P且离心率为3.

图1­6

(1)求C1的方程;
(2)椭圆C2过点P且与C1有相同的焦点,直线l过C2的右焦点且与C2交于A,B两点.若以线段AB为直径的圆过点P,求l的方程.
20.(1)设切点坐标为(x0,y0)(x0>0,y0>0),则切线斜率为-x0y0,切线方程为y-y0=-x0y0(x-x0),即x0x+y0y=4,此时两个坐标轴的正半轴与切线的交点分别为4x0,0,0,4y0.故其围成的三角形的面积S=12•4x0•4y0=8x0y0.由x20+y20=4≥2x0y0知,当且仅当x0=y0=2时x0y0有最大值2,此时S有最小值4,因此点P的坐标为(2,2).
由题意知2a2-2b2=1,a2+b2=3a2,
解得a2=1,b2=2,故C1的方程为x2-y22=1.
(2)由(1)知C2的焦点坐标为(-3,0),(3,0),由此可设C2的方程为x23+b21+y2b21=1,其中b1>0.
由P(2,2)在C2上,得23+b21+2b21=1,
解得b21=3,
因此C2的方程为x26+y23=1.
显然,l不是直线y=0.
设直线l的方程为x=my+3,点A(x1,y1),B(x2,y2),
由x=my+3,x26+y23=1,得(m2+2)y2+2 3my-3=0.
又y1,y2是方程的根,因此
y1+y2=-2 3mm2+2,              ①y1y2=-3m2+2,


由x1=my1+3,x2=my2+3,得
x1+x2=m(y1+y2)+2 3=4 3m2+2 ,     ③x1x2=m2y1y2+3m(y1+y2)+3=6-6m2m2+2.  ④
因为AP→=(2-x1,2-y1),BP→=(2-x2,2-y2),由题意知AP→•BP→=0,
所以x1x2-2(x1+x2)+y1y2-2(y1+y2)+4=0,⑤
将①②③④代入⑤式整理得
2m2-2 6m+4 6-11=0,
解得m=3 62-1或m=-62+1.
因此直线l的方程为
x-(3 62-1)y-3=0或x+(62-1)y-3=0.
6.[2014•全国卷] 已知椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点为F1,F2,离心率为33,过F2的直线l交C于A,B两点.若△AF1B的周长为43,则C的方程为(  )
A.x23+y22=1 B.x23+y2=1
C.x212+y28=1 D.x212+y24=1
6.A 
20.、、[2014•新课标全国卷Ⅰ] 已知点A(0,-2),椭圆E:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的离心率为32,F是椭圆E的右焦点,直线AF的斜率为233,O为坐标原点.
(1)求E的方程;
(2)设过点A的动直线l与E相交于P,Q两点,当△OPQ的面积最大时,求l的方程.
20.(1)设F(c,0),由条件知,2c=233,得c=3.
又ca=32,所以a=2,b2=a2-c2=1.
故E的方程为x24+y2=1.
(2)当l⊥x轴时不合题意,
故可设l:y=kx-2,P(x1,y1),Q(x2,y2).
将y=kx-2代入x24+y2=1得(1+4k2)x2-16kx+12=0,
当Δ=16(4k2-3)>0,即k2>34时,
x1,2=8k±24k2-34k2+1,
从而|PQ|=k2+1|x1-x2|
=4k2+1•4k2-34k2+1.
又点O到直线l的距离d=2k2+1.
所以△OPQ的面积
S△OPQ=12d•|PQ|=44k2-34k2+1.
设4k2-3=t,则t>0,S△OPQ=4tt2+4=4t+4t.
因为t+4t≥4,当且仅当t=2,即k=±72时等号成立,满足Δ>0,
所以,当△OPQ的面积最大时,k=±72,l的方程为y=72x-2或y=-72x-2.
20.、、[2014•新课标全国卷Ⅱ] 设F1,F2分别是椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点,M是C上一点且MF2与x轴垂直,直线MF1与C的另一个交点为N.
(1)若直线MN的斜率为34,求C的离心率;
(2)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=
5|F1N|,求a,b.
20.(1)根据c=a2-b2及题设知Mc,b2a,2b2=3ac.
将b2=a2-c2代入2b2=3ac,
解得ca=12,ca=-2(舍去).
故C的离心率为12.
(2)由题意知,原点O为F1F2的中点,MF2∥y轴,所以直线MF1与y轴的交点D(0,2)是线段MF1的中点,故b2a=4,即b2=4a.①
由|MN|=5|F1N|得|DF1|=2|F1N|.
设N(x1,y1),由题意知y1b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为32.
(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.

图1­5
20.(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点.
设C1的半焦距为c,由ca=32及a2-c2=b2=1得a=2,
∴a=2,b=1.
(2)方法一:由(1)知,上半椭圆C1的方程为y24+x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得
(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)
设点P的坐标为(xP,yP),
∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.
由求根公式,得xP=k2-4k2+4,从而yP=-8kk2+4,
∴点P的坐标为k2-4k2+4,-8kk2+4.
同理,由y=k(x-1)(k≠0),y=-x2+1(y≤0),
得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).
∴AP→=2kk2+4(k,-4),AQ→=-k(1,k+2).
∵AP⊥AQ,
∴AP•AQ=0,即-2k2k2+4[k-4(k+2)]=0,
∵k≠0,
∴k-4(k+2)=0,解得k=-83.
经检验,k=-83符合题意,
故直线l的方程为y=-83(x-1).
方法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照方法一给分.
20.,[2014•陕西卷] 如图1­5所示,曲线C由上半椭圆C1:y2a2+x2b2=1(a>b>0,y≥0)和部分抛物线C2:y=-x2+1(y≤0)连接而成,C1与C2的公共点为A,B,其中C1的离心率为32.
(1)求a,b的值;
(2)过点B的直线l与C1,C2分别交于点P,Q(均异于点A,B),若AP⊥AQ,求直线l的方程.

图1­5
20.(1)在C1,C2的方程中,令y=0,可得b=1,且A(-1,0),B(1,0)是上半椭圆C1的左、右顶点.
设C1的半焦距为c,由ca=32及a2-c2=b2=1得a=2,
∴a=2,b=1.
(2)方法一:由(1)知,上半椭圆C1的方程为y24+x2=1(y≥0).
易知,直线l与x轴不重合也不垂直,设其方程为y=k(x-1)(k≠0),
代入C1的方程,整理得
(k2+4)x2-2k2x+k2-4=0.(*)
设点P的坐标为(xP,yP),
∵直线l过点B,∴x=1是方程(*)的一个根.
由求根公式,得xP=k2-4k2+4,从而yP=-8kk2+4,
∴点P的坐标为k2-4k2+4,-8kk2+4.
同理,由y=k(x-1)(k≠0),y=-x2+1(y≤0),
得点Q的坐标为(-k-1,-k2-2k).
∴AP→=2kk2+4(k,-4),AQ→=-k(1,k+2).
∵AP⊥AQ,
∴AP•AQ=0,即-2k2k2+4[k-4(k+2)]=0,
∵k≠0,
∴k-4(k+2)=0,解得k=-83.
经检验,k=-83符合题意,
故直线l的方程为y=-83(x-1).
方法二:若设直线l的方程为x=my+1(m≠0),比照方法一给分.
18.、[2014•天津卷] 设椭圆x2a2+y2b2=1(a>b>0)的左、右焦点分别为F1,F2,右顶点为A,上顶点为B.已知|AB|=32|F1F2|.
(1)求椭圆的离心率;
(2)设P为椭圆上异于其顶点的一点,以线段PB为直径的圆经过点F1,经过原点O的直线l与该圆相切,求直线l的斜率.
18.(1)设椭圆右焦点F2的坐标为(c,0).
由|AB|=32|F1F2|,可得a2+b2=3c2.
又b2=a2-c2,则c2a2=12,
所以椭圆的离心率e=22.
(2)由(1)知a2=2c2,b2=c2.
故椭圆方程为x22c2+y2c2=1.
设P(x0,y0).由F1(-c,0),B(0,c),
有F1P→=(x0+c,y0),F1B→=(c,c).
由已知,有F1P→•F1B→=0,即(x0+c)c+y0c=0.
又c≠0,故有x0+y0+c=0.①
又因为点P在椭圆上,
所以x202c2+y20c2=1.②
由①和②可得3x20+4cx0=0.而点P不是椭圆的顶点,故x0=-43c.代入①得y0=c3,即点P的坐标为-4c3,c3.
设圆的圆心为T(x1,y1),则x1=-43c+02=-23c,y1=c3+c2=23c,进而圆的半径r=(x1-0)2+(y1-c)2=53c.
设直线l的斜率为k,依题意,直线l的方程为y=kx.由l与圆相切,可得|kx1-y1|k2+1=r,即k-2c3-2c3k2+1=53c,整理得k2-8k+1=0,解得k=4±15,
所以直线l的斜率为4+15或4-15.
21.、[2014•浙江卷] 如图1­6,设椭圆C:x2a2+y2b2=1(a>b>0),动直线l与椭圆C只有一个公共点P,且点P在第一象限.
(1)已知直线l的斜率为k,用a,b,k表示点P的坐标;
(2)若过原点O的直线l1与l垂直,证明:点P到直线l1的距离的最大值为a-b.

图1­6
21.(1)设直线l的方程为y=kx+m(kb>0)的左、右焦点分别为F1,F2,点D在椭圆上,DF1⊥F1F2,|F1F2||DF1|=22,△DF1F2的面积为22.
(1)求椭圆的标准方程;
(2)设圆心在y轴上的圆与椭圆在x轴的上方有两个交点,且圆在这两个交点处的两条切线相互垂直并分别过不同的焦点,求圆的半径.

图1­4
21.(1)设F1(-c,0),F2(c,0),其中c2=a2-b2.
由|F1F1||DF1|=22得|DF1|=|F1F2|22=22c.
从而S△DF1F2=12|DF1||F1F2|=22c2=22,故c=1.
从而|DF1|=22,由DF1⊥F1F2得|DF2|2=|DF1|2+|F1F2|2=92,因此|DF2|=322,
所以2a=|DF1|+|DF2|=22,故a=2,b2=a2-c2=1.
因此,所求椭圆的标准方程为x22+y2=1.
(2)如图所示,设圆心在y轴上的圆C与椭圆x22+y2=1相交,P1(x1,y1),P2(x2,y2)是两个交点,y1>0,y2>0,F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2.由圆和椭圆的对称性,易知,x2=-x1,y1=y2,|P1P2|=2|x1|.

由(1)知F1(-1,0),F2(1,0),所以F1P1→=(x1+1,y1),F2P2→=(-x1-1,y1).再由F1P1⊥F2P2得-(x1+1)2+y21=0.由椭圆方程得1-x212=(x1+1)2,即3x21+4x1=0,解得x1=-43或x1=0.
当x1=0时,P1,P2重合,此时题设要求的圆不存在.
当x1=-43时,过P1,P2分别与F1P1,F2P2垂直的直线的交点即为圆心C.
由F1P1,F2P2是圆C的切线,且F1P1⊥F2P2,知CP1⊥CP2.又|CP1|=|CP2|,故圆C的半径|CP1|=22|P1P2|=2|x1|=423.

H6 双曲线及其几何性质
9.、[2014•湖北卷] 已知F1,F2是椭圆和双曲线的公共焦点,P是它们的一个公共点,且∠F1PF2=π3,则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为(  )
A.433 B.233 C.3 D.2
9.A 

11.[2014•北京卷] 设双曲线C经过点(2,2),且与y24-x2=1具有相同渐近线,则C的方程为________;渐近线方程为________.
11.x23-y212=1 y=±2x 
9.[2014•全国卷] 已知双曲线C的离心率为2,焦点为F1,F2,点A在C上.若|F1A|=2|F2A|,则cos∠AF2F1=(  )
A.14 B.13 C.24 D.23
9.A 

19.、[2014•福建卷] 已知双曲线E:x2a2-y2b2=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为l1:y=2x,l2:y=-2x.
(1)求双曲线E的离心率.
(2)如图1­6,O为坐标原点,动直线l分别交直线l1,l2于A,B两点(A,B分别在第一、四象限),且△OAB的面积恒为8.试探究:是否存在总与直线l有且只有一个公共点的双曲线E?若存在,求出双曲线E的方程;若不存在,说明理由.


图1­6
19.方法一:
(1)因为双曲线E的渐近线分别为y=2x,y=-2x,
所以ba=2,
所以c2-a2a=2,
故c=5a,
从而双曲线E的离心率
e=ca=5.
(2)由(1)知,双曲线E的方程为x2a2-y24a2=1.
设直线l与x轴相交于点C.
当l⊥x轴时,若直线l与双曲线E有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a.又因为△OAB的面积为8,

所以12|OC|•|AB|=8,
因此12a•4a=8,解得a=2,
此时双曲线E的方程为x24-y216=1.
若存在满足条件的双曲线E,则E的方程只能为x24-y216=1.
以下证明:当直线l不与x轴垂直时,双曲线E:x24-y216=1也满足条件.
设直线l的方程为y=kx+m,依题意,得k>2或k
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