如图，抛物线解析式是y=-x2+bx（b＞0），是否以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在请说明理由．

Question

如图，抛物线解析式是y=-x²+bx（b＞0），是否以原点O为对称中心的矩形ABCD？若存在，求出过O、C、D三点的抛物线的表达式；若不存在请说明理由．

Answer 1

存在
如图，
作△OCD与△OAB关于原点O中心对称，则四边形ABCD为平行四边形．
当OA=OB时，平行四边形ABCD是矩形，
又∵AO=AB，AO=BO，
∴△OAB为等边三角形．
∴∠AOB=60°，
作AE⊥OB，垂足为E，
∴AE=OEtan∠AOB=√(3)OE．
∴(b2)/(4)=√(3)•(b)/(2)（b＞0）．
∴b=2√(3)．
∴A（√(3)，3），B（2√(3)，0）．
∴C（-√(3)，-3），D（-2√(3)，0）．
设过点O、C、D的抛物线为y=mx²+nx，则

作业帮用户 2016-11-17

问题解析

由于矩形的对角线相等且互相平分，所以若存在以原点O为对称中心的矩形ABCD，那么必须满足OA=OB，又AO=BO，这个“抛物线三角形”必须是等边三角形，首先用b表示出AE、OE的长，通过△OAB这个等边三角形来列等量关系求出b′的值，进而确定A、B的坐标，即可确定C、D的坐标，利用待定系数即可求出过O、C、D的抛物线的解析式．

名师点评

本题考点：

二次函数的性质．

考点点评：

此题考查二次函数的性质及解析式的确定、等腰三角形的判定和性质、矩形的判定和性质等知识，重在考查基础知识的掌握情况．

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