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如图,抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.(1)求此抛物线的解析式;(2)点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC:S△
题目详情
如图,抛物线y=x2+bx-c经过直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B,此抛物线与x轴的另一个交点为C,抛物线的顶点为D.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d000baa1cd11728b4bfd0e93cbfcc3cec2fd2caa.jpg)
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC:S△ACD=5:4的点P的坐标;
(3)点M为平面直角坐标系上一点,写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标.
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d000baa1cd11728b4bfd0e93cbfcc3cec2fd2caa.jpg)
(1)求此抛物线的解析式;
(2)点P为抛物线上的一个动点,求使S△APC:S△ACD=5:4的点P的坐标;
(3)点M为平面直角坐标系上一点,写出使点M、A、B、D为平行四边形的点M的坐标.
▼优质解答
答案和解析
(1)∵直线y=x-3与坐标轴的两个交点A、B,
∴点B(0,-3),点A(3,0),
将A与B坐标代入抛物线y=x2+bx-c得:
,
解得:c=3,b=-2,
则抛物线的解析式是y=x2-2x-3;
(2)∵抛物线的解析式是y=x2-2x-3,
∴C(-1,0),顶点D(1,-4),
由点P为抛物线上的一个动点,故设点P(a,a2-2a-3),
∵S△APC:S△ACD=5:4,
∴(
×4×|a2-2a-3|):(
×4×4)=5:4,
整理得:a2-2a-3=5或a2-2a-3=-5(由△<0,得到无实数解,舍去),
解得:a1=4,a2=-2,
则满足条件的点P的坐标为P1(4,5),P2(-2,5);
(3)如图所示,A、B、D分别为M1M3、M1M2、M2M3的中点,
∵四边形ADBM1为平行四边形,
∴AB与M1D互相平分,即E为AB中点,E为M1D中点,
∵A(3,0),B(0,-3),
∴E(
,-
),
又∵D(1,-4),
∴M1(2,1),
∴M2(-2,-7),M3(4,-1),
则满足题意点M的坐标为:M1(2,1),M2(-2,-7),M3(4,-1).
![](http://hiphotos.baidu.com/zhidao/pic/item/d4628535e5dde7115f18c147a4efce1b9c1661bd.jpg)
∴点B(0,-3),点A(3,0),
将A与B坐标代入抛物线y=x2+bx-c得:
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解得:c=3,b=-2,
则抛物线的解析式是y=x2-2x-3;
(2)∵抛物线的解析式是y=x2-2x-3,
∴C(-1,0),顶点D(1,-4),
由点P为抛物线上的一个动点,故设点P(a,a2-2a-3),
∵S△APC:S△ACD=5:4,
∴(
1 |
2 |
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整理得:a2-2a-3=5或a2-2a-3=-5(由△<0,得到无实数解,舍去),
解得:a1=4,a2=-2,
则满足条件的点P的坐标为P1(4,5),P2(-2,5);
(3)如图所示,A、B、D分别为M1M3、M1M2、M2M3的中点,
∵四边形ADBM1为平行四边形,
∴AB与M1D互相平分,即E为AB中点,E为M1D中点,
∵A(3,0),B(0,-3),
∴E(
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2 |
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又∵D(1,-4),
∴M1(2,1),
∴M2(-2,-7),M3(4,-1),
则满足题意点M的坐标为:M1(2,1),M2(-2,-7),M3(4,-1).
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