如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点M(－2，－1)，且P(－1，－2)是双曲线上的一点，Q为坐标平面上一动点，PA垂直于x轴，QB垂直于y轴，垂足分别是A、B．(1)写

Question

如图1，已知正比例函数和反比例函数的图象都经过点 M (－2，－1)，且 P (－1，－2)是双曲线上的一点， Q 为坐标平面上一动点， PA 垂直于 x 轴， QB 垂直于 y 轴，垂足分别是 A 、 B ．
(1)写出正比例函数和反比例函数的关系式；
(2)当点 Q 在直线 MO 上运动时，直线 MO 上是否存在这样的点 Q ，使得△ OBQ 与△ OAP 面积相等?如果存在，请求出点的坐标，如果不存在，请说明理由；
(3)如图2，当点 Q 在第一象限中的双曲线上运动时，作以 OP 、 OQ 为邻边的平行四边形 OPCQ ，求平行四边形 OPCQ 周长的最小值．

 

Answer 1

(1)设正比例函数解析式为 y ＝ kx ，将点 M (－2，－1)坐标代入得 ，
所以正比例函数解析式为 ，
同样可得，反比例函数解析式为 ；
(2)当点 Q 在直线 MO 上运动时，设点 Q 的坐标为 ，
于是 S _{△ OBQ} ＝ ｜ OB · BQ ｜＝ · m · m ＝ m ²
而 S _△OAP ＝ ｜(－1)(－2)｜＝1，
所以有， ，
解得 m ＝±2
所以点 Q 的坐标为 Q ₁ (2，1)和 Q ₂ (－2，－1)；
(3)因为四边形 OPCQ 是平行四边形，所以 OP ＝ CQ ， OQ ＝ PC ，
而点 P (－1，－2)是定点，所以 OP 的长也是定长，
所以要求平行四边形 OPCQ 周长的最小值就只需求 OQ 的最小值．
因为点 Q 在第一象限中双曲线上，
所以可设点 Q 的坐标 Q ( n ， )，
由勾股定理可得 OQ ² ＝ n ² ＋ ＝( n － ) ² ＋4，
所以当( n － ) ² ＝0即 n － ＝0时， OQ ² 有最小值4，
又因为 OQ 为正值，所以 OQ 与 OQ ₂ 同时取得最小值，所以 OQ 有最小值2．
由勾股定理得 OP ＝ ，
所以平行四边形 OPCQ 周长的最小值是2( OP ＋ OQ )＝2( ＋2)＝2 ＋4．