设函数f（x）=（sinωx+cosωx）2+2cos2ωx（ω＞0）的最小正周期为2π3．（Ⅰ）求ω的值；（Ⅱ）求f（x）在区间[−π6，π3]上的值域；（Ⅲ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移

Question

设函数f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx（ω＞0）的最小正周期为(2π)/(3)．
（Ⅰ）求ω的值；       
（Ⅱ）求f（x）在区间[−(π)/(6)，(π)/(3)]上的值域；
（Ⅲ）若函数y=g（x）的图象是由y=f（x）的图象向右平移(π)/(2)个单位长度得到，求y=g（x）的单调增区间．

Answer 1

（Ⅰ）f（x）=（sinωx+cosωx）²+2cos²ωx
=sin²ωx+cos²ωx+sin2ωx+1+cos2ωx…（2分）
=sin2ωx+cos2ωx+2
=√(2)sin（2ωx+(π)/(4)）+2，
依题意得(2π)/(2ω)=(2π)/(3)，
故ω的值为(3)/(2)．       …（5分）
（Ⅱ）∵−(π)/(6)≤x≤(π)/(3)，
∴−(π)/(4)≤3x+(π)/(4)≤(5π)/(4)，…（6分
∴−1≤√(2)sin(3x+(π)/(4))≤√(2)…（8分），
∴1≤f(x)≤2+√(2)，
即f（x）的值域为[1，2+√(2)]…（9分）
（Ⅲ）依题意得：g（x）=√(2)sin[3（x-(π)/(2)）+(π)/(4)]+2
=√(2)sin（3x-(5π)/(4)）+2    …（11分）
由2kπ-(π)/(2)≤3x-(5π)/(4)≤2kπ+(π)/(2)，k∈Z，…（12分）
解得(2)/(3)kπ+(π)/(4)≤x≤(2)/(3)kπ+(7π)/(12)，k∈Z，
故y=g（x）的单调增区间为：[(2)/(3)kπ+(π)/(4)，(2)/(3)kπ+(7π)/(12)]，（k∈Z），…（13分）