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(1)利用向量有关知识与方法证明两角差的余弦公式:Cα-β:cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;(2)由Cα-β推导两角和的正弦公式Sα+β:sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.

题目详情
(1)利用向量有关知识与方法证明两角差的余弦公式:C α-β :cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ;
(2)由C α-β 推导两角和的正弦公式S α+β :sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ.
▼优质解答
答案和解析


(1)如图,在平面直角坐标系中,以原点为圆心,
作一单位圆,再以原点为顶点,
x轴非负半轴为始边分别作角α,β.
设它们的终边分别交单位圆于点P 1 (cosα,sinα),P 2 (cosβ,sinβ),…(4分)
即有两单位向量
O P 1
O P 2

它们的所成角是|α-β|,
根据向量数量积的性质得:
O P 1
O P 2
=cos(α-β)=cos|α-β |①
又根据向量数量积的坐标运算得:
O P 1
O P 2

=cosαcosβ+sinαsinβ②
由①②得 cos(α-β)=cosαcosβ+sinαsinβ…(9分)
(2)sin(α+β)=cos(
π
2
-α-β)=cos[(
π
2
-α)-β ]…(11分)
=cos[(
π
2
-α)cosβ+sin(
π
2
-β]…(13分)
=cos(
π
2
-α )cosβ+sin(
π
2
-α )sinβ
=sinαcosβ+cosαsinβ
即有sin(α+β)=sinαcosβ+cosαsinβ…(15分)