在正方体ABCD-A1B1C1D1中，E是棱DD1的中点．（1）求直线BE与平面ABB1A1所成角的大小（结果用反三角函数表示）（2）在棱C1D1上是否存在一点F，使得BF1∥平面A1BE，若存在，指明点F的位置，若不

Question

在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中，E是棱DD₁的中点．

（1）求直线BE与平面ABB₁A₁所成角的大小（结果用反三角函数表示）
（2）在棱C₁D₁上是否存在一点F，使得BF₁∥平面A₁BE，若存在，指明点F的位置，若不存在，请说明理由．

Answer 1

（1）如图（a），取AA₁的中点M，连接EM，BM，因为E是DD₁的中点，四边形ADD₁A₁为正方形，所以EM∥AD．
又在正方体ABCD-A₁B₁C₁D₁中．AD⊥平面ABB₁A₁，所以EM⊥面ABB₁A₁，从而BM为直线BE在平面ABB₁A₁上的射影，
∠EBM直线BE与平面ABB₁A₁所成的角．
设正方体的棱长为2，则EM=AD=2，BE=√(22+22+12)=3，BM=√(32-22)=√(5)
于是在Rt△BEM中，tan∠EBM=(ME)/(BM)=(2√(5))/(5)，
即直线BE与平面ABB₁A₁所成的角是arctan(2√(5))/(5)．
（2）在棱C₁D₁上存在点F，使B₁F平面A₁BE，
事实上，如图（b）所示，分别取C₁D₁和CD的中点F，G，连接EG，BG，CD₁，FG，
因A₁D₁∥B₁C₁∥BC，且A₁D₁=BC，所以四边形A₁BCD₁为平行四边形，
因此D₁C∥A₁B，又E，G分别为D₁D，CD的中点，所以EG∥D₁C，从而EG∥A₁B，这说明A₁，B，G，E共面，所以BG⊂平面A₁BE
因四边形C₁CDD₁与B₁BCC₁皆为正方形，F，G分别为C₁D₁和CD的中点，所以FG∥C₁C∥B₁B，且FG=C₁C=B₁B，因此四边形B₁BGF为平行四边形，所以B₁F∥BG，而B₁F⊄平面A₁BE，BG⊂平面A₁BE，故B₁F∥平面A₁BE．