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怎么用三阶行列式证明[abc]=[bca]=[cab]
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怎么用三阶行列式证明[abc]=[bca]=[cab]
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答案和解析
这里的a,b,c为三元向量,即a=(a1,a2,a3),b=(b1,b2,b3),c=(c1,c2,c3);
[abc]=矩阵[a1,a2,a3;b1,b2,b3;c1,c2,c3]的行列式;
[bca]=矩阵[b1,b2,b3;c1,c2,c3;a1,a2,a3]的行列式;
比较上面两式的右边两个行列式,实际上就是行列式[a1,a2,a3;b1,b2,b3;c1,c2,c3]的第1行与第2行互换,然后再与第3行互换,行列式中每次进行行(或列)互换,就相当于乘以(-1),所以两次互换行列式不变,即[a1,a2,a3;b1,b2,b3;c1,c2,c3]的行列式=[b1,b2,b3;c1,c2,c3;a1,a2,a3]的行列式.从而[abc]=[bca].
同理证明][bca]=[cab].
[abc]=矩阵[a1,a2,a3;b1,b2,b3;c1,c2,c3]的行列式;
[bca]=矩阵[b1,b2,b3;c1,c2,c3;a1,a2,a3]的行列式;
比较上面两式的右边两个行列式,实际上就是行列式[a1,a2,a3;b1,b2,b3;c1,c2,c3]的第1行与第2行互换,然后再与第3行互换,行列式中每次进行行(或列)互换,就相当于乘以(-1),所以两次互换行列式不变,即[a1,a2,a3;b1,b2,b3;c1,c2,c3]的行列式=[b1,b2,b3;c1,c2,c3;a1,a2,a3]的行列式.从而[abc]=[bca].
同理证明][bca]=[cab].
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