雅克比行列式证明微分方程的通解时怎么用?在高等数学的微分方程部分经常用雅克比行列式来证明微分方程的通解,如果是1阶微分方程的话可以用2X2行列式解决问题,要是二阶微分方程时出现

Question

雅克比行列式证明微分方程的通解时怎么用?
在高等数学的微分方程部分经常用雅克比行列式来证明微分方程的通解,如果是1阶微分方程的话可以用2X2行列式解决问题,要是二阶微分方程时出现一个2X3的矩阵该如何展开呢?求数学达人给小弟详细说明,

Answer 1

关于这个的一般性证明稍微复杂点,现在就给你证明为什么二维的dx(u,v)dy(u,v)=Jdudv成立
证明：对于曲面x=x(u,v),y=y(u,v),取它的微元,即小曲边四边形ABCD,其中
A(u,v),B(u+△u,v),C(u+△u,v+△v),D(u,v+△v),那么这个曲边四边形ABCD可以近似看成是微小向量B(u+△u,v)-A(u,v)和D(u,v+△v)-A(u,v)张成的.利用中值定理可知：
(u+△u,v)-(u,v)=Mdu
(u,v+△v)-(u,v)=Ndv
这里的M,N是偏导数的形式,不好打出,你可以自己算出来,很简单的.
当变化量很小时,我们把(u+△u,v)-(u,v)近似看成dx(u,v),(u,v+△v)-(u,v)看成dy(u,v),所以,
dx(u,v)dy(u,v)=M*Ndudv
而其中的M*N刚好就是二维Jacobi行列式的展开形式.
由此问题得证.