已知正实数x，y满足等式x+y+8=xy，若对任意满足条件的x，y，都有不等式（x+y）2-a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是．

Question

已知正实数x，y满足等式x+y+8=xy，若对任意满足条件的x，y，都有不等式（x+y） ² -a（x+y）+1≥0恒成立，则实数a的取值范围是______．

Answer 1

∵正实数x，y满足等式x+y+8=xy
∴x+y+8≤ ((x+y)2)/(4)
∴（x+y-8）（x+y+4）≥0
∵x+y+4≥0
∴x+y-8≥0
∴x+y≥8（当且仅当x=y=4时，取等号）
∵对任意满足条件的正实数x，y，都有不等式（x+y） ² -a（x+y）+1≥0
∴ a≤(x+y)+(1)/(x+y) 对任意满足条件的正实数x，y恒成立
令t=x+y（t≥8），则f（t）=t+ (1)/(t) 在（8，+∞）上为单调增函数
∴f（t）=t+ (1)/(t) ≥8+(1)/(8) =(65)/(8) （当且仅当t=8，即x=y=4时，取等号）
∴ a≤(65)/(8)
∴实数a的取值范围是（-∞， (65)/(8) ]
故答案为：（-∞， (65)/(8) ]