（2013•黄浦区二模）下列命题：①“0＜a≤12”是“存在n∈N*，使得(12)n＝a成立”的充分条件；②“a＞0”是“存在n∈N*，使得(12)n＜a成立”的必要条件；③“a＞12”是“不等式(12)n＜a对一切

Question

（2013•黄浦区二模）下列命题：
①“0＜a≤(1)/(2)”是“存在n∈N^*，使得((1)/(2))n＝a成立”的充分条件；
②“a＞0”是“存在n∈N^*，使得((1)/(2))n＜a成立”的必要条件；
③“a＞(1)/(2)”是“不等式((1)/(2))n＜a对一切n∈N^*恒成立”的充要条件．
其中所以真命题的序号是（　　）

A．③
B．②③
C．①②
D．①③

Answer 1

选项①当0＜a≤(1)/(2)时，不一定存在n∈N^*，使得((1)/(2))n＝a成立，
比如取a=(1)/(3)，则不存在自然数n，使((1)/(2))n＝(1)/(3)，故前者是后者的非充分条件，
但存在n∈N^*，使得((1)/(2))n＝a成立时，a即为((1)/(2))n当n∈N^*，时的取值范围，即0＜a≤(1)/(2)，
故“0＜a≤(1)/(2)”应是“存在n∈N^*，使得((1)/(2))n＝a成立”的必要非充分条件，故①错误；
选项②当存在n∈N^*，使得((1)/(2))n＜a成立时，a只需大于((1)/(2))n当n∈N^*，时的最小取值即可，
故可得a＞0，故“a＞0”是“存在n∈N^*，使得((1)/(2))n＜a成立”的必要条件，故②正确；
选项③由①知，当n∈N^*时((1)/(2))n的取值范围为0＜a≤(1)/(2)，
故当a＞(1)/(2)时，必有“不等式((1)/(2))n＜a对一切n∈N^*恒成立”，
而要使不等式((1)/(2))n＜a对一切n∈N^*恒成立”，只需a大于((1)/(2))n的最大值即可，即a＞(1)/(2)
故“a＞(1)/(2)”是“不等式((1)/(2))n＜a对一切n∈N^*恒成立”的充要条件．
故选B