已知数列{an}满足：an≠±1，a1=12，3（1-an+12）=2（1-an2），bn=1-an2，cn=an+12-an2（n∈N*），（1）�已知数列{an}满足：an≠±1，a1=12，3（1-an+12）=2（1-an2），bn=1-an2，cn=an+12-an2（n∈N*），（1）证明数

Question

已知数列{an}满足：an≠±1，a1=12，3（1-an+12）=2（1-an2），bn=1-an2，cn=an+12-an2（n∈N*），（1）�
已知数列{a_n}满足：a_n≠±1，a₁=(1)/(2)，3（1-a_n+1²）=2（1-a_n²），b_n=1-a_n²，c_n=a_n+1²-a_n²（n∈N^*），
（1）证明数列{b_n}是的等比数列，并求数列{b_n}、{c_n}的通项公式．
（2）是否存在数列{c_n}的不同项c_i，c_j，c_k（i＜j＜k）使之成为的等差数列？若存在，请求出这样不同项c_i，c_j，c_k（i＜j＜k）；若不存在，请说明理由．
（3）是否存在最小的自然数M，对一切n∈N^*都有（n-2）c_n＜M恒成立？若存在，求出M的值，若不存在，说明理由．

Answer 1

（1）因为a_n≠±1，a1＝(1)/(2)，3（1-a_n+1²）=2（1-a_n²），bn＝1?an2，
所以(bn+1)/(bn)=(1?an+12)/(1?an2)=(2)/(3)，n∈N^*，b1＝1?a12=(3)/(4)，
所以{b_n}是以(3)/(4)为首项，(2)/(3)为公比的等比数列，
所以bn＝(3)/(4)×((2)/(3))n?1，n∈N^*，
所以an2＝1?bn＝1?(3)/(4)×((2)/(3) )n?1，n∈N^*，
所以c_n=an+12-an2=(3)/(4)×((2)/(3))n?1，n∈N^*．…（6分）
（2）假设存在c_i，c_j，c_k（i＜j＜k）满足题意，则有2c_j=c_i+c_k，
代入得2×(1)/(4)×((2)/(3))i?1+(1)/(4)×((2)/(3))k?1，化简得2^j-i+1=3^i-1+2^k+j-i，
即2^j-i+1-2^k+j-i=3^j-1，左边为偶数，右边为奇数不可能相等．
所以假设不存在，这样的三项不存在．  …（12分）
（3）（n-2）c_n-（n-1）c_n+1=(1)/(4)×((2)/(3))n?1×(n?4)/(3)，
（1-2）c₁＜（2-2）c₂＜（3-2）c₃＜（4-2）c₄，
（4-2）c₄=（5-2）c₅，（5-2）c₅＞（6-2）c₆＞（7-2）c₇＞…
即在数列{（n-2）c_n}中，第4项和第5项是最大项，
当n=4时（n-2）c_n=2×(1)/(4)×((2)/(3))3=(4)/(27)，
所以存在最小自然数M=1符合题意．  …（16分）