已知实数a、b、c满足条件ab+bc+ca=1，给出下列不等式：①a2b2+b2c2+c2a2≥1；②1abc≥23；③（a+b+c）2＞2；④a2bc+ab2c+abc2≤13；其中一定成立的式子有．

Question

已知实数a、b、c满足条件ab+bc+ca=1，给出下列不等式：①a²b²+b²c²+c²a²≥1；②(1)/(abc)≥2√(3)；③（a+b+c）²＞2；④a2bc+ab2c+abc2≤(1)/(3)；其中一定成立的式子有______．

Answer 1

∵当a=b=c=(√(3))/(3)时，①不成立，∴排除①
当a=2，b=3，c=-1时，②不成立，∴排除②
∵而（a+b+c）²=a²+b²+c²+2（ab+bc+ac）≥3（ab+bc+ac）=3＞2，∴③成立
∵（ab+bc+ac）²≥3[（ab）（bc）+（bc）（ca）+（ca）（ab）]=3（a²bc+ab²c+abc²），∴④成立
故答案为③④