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阅读以下的材料:如果两个正数a,b,即a>0,b>0,有下面的不等式:当且仅当a=b时取到等号,我们把叫做正数的算术平均数,把叫做正数a,b的几何平均数,于是上述不等式可表
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阅读以下的材料: 如果两个正数a,b,即a>0,b>0,有下面的不等式: 当且仅当a=b时取到等号,我们把 叫做正数的算术平均数,把 叫做正数a,b的几何平均数,于是上述不等式可表述为:两个正数的算术平均数不小于(即大于或等于)它们的几何平均数。它在数学中有广泛的应用,是解决最值问题的有力工具。下面举一例子: 例:已知x>0,求函数 的最小值。 解:令a=x, ,则有 ,得 ,当且仅当 时,即x=2时,函数有最小值,最小值为2。 根据上面回答下列问题: ①已知x>0,则当x=______时,函数 取到最小值,最小值为______; ②用篱笆围一个面积为100m 2 的矩形花园,问这个矩形的长、宽各为多少时,所用的篱笆最短,最短的篱笆周长是多少; ③已知x>0,则自变量x取何值时,函数 取到最大值,最大值为多少? |
▼优质解答
答案和解析
①已知x>0,则当时 ,函数 取到最小值,最小值为 ; ②设这个矩形的长为x米,则宽为 米,所用的篱笆总长为y米,根据题意得: y=2x+ , 由上述性质知:x>0,2x+ ≥40, 此时,2x= , ∴x=10, 答:当这个矩形的长、宽各为10米时,所用的篱笆最短,最短的篱笆是40米; ③令 = =x+ -2 ∵x>0, =x+ ≥6, 当x=3时,y最大= 。 |
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