已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在x轴上，它的一个焦点为F，M是椭圆上的任意点，|MF|的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以y=x为轴的对称点M1和M2，且|M1

Question

已知椭圆的中心在坐标原点，焦点在 x 轴上，它的一个焦点为 F ， M 是椭圆上的任意点，| MF |的最大值和最小值的几何平均数为2，椭圆上存在着以 y = x 为轴的对称点 M ₁ 和 M ₂ ，且| M ₁ M ₂ |= ，试求椭圆的方程

Answer 1

椭圆方程为：  =1.

| MF | _max = a + c ,| MF | _min = a － c ,则( a + c )( a － c )= a ² － c ² = b ² ,
∴ b ² =4,设椭圆方程为                                       ①
设过 M ₁ 和 M ₂ 的直线方程为 y =－ x + m                                  ②
将②代入①得：(4+ a ² ) x ² －2 a ² mx + a ² m ² －4 a ² ="0                             " ③
设 M ₁ ( x ₁ , y ₁ )、 M ₂ ( x ₂ , y ₂ ), M ₁ M ₂ 的中点为( x ₀ , y ₀ ),
则 x ₀ =  ( x ₁ + x ₂ )= , y ₀ =－ x ₀ + m = .
代入 y = x ,得 ,
由于 a ² ＞4,∴ m =0,∴由③知 x ₁ + x ₂ =0, x ₁ x ₂ =－ ,
又| M ₁ M ₂ |= ,
代入 x ₁ + x ₂ , x ₁ x ₂ 可解 a ² =5,故所求椭圆方程为：  =1.