已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）．（2）求（1-x）3+（1-x）4+∧+（1-x）n展开式中x2项的系数．

Question

已知的二项展开式中所有奇数项的系数之和为512，
（1）求展开式的所有有理项（指数为整数）．
（2）求（1-x）³+（1-x）⁴+∧+（1-x）ⁿ展开式中x²项的系数．

Answer 1

（1）C_n⁰+C_n²+…=2^n-1=512=2⁹
∴n-1=9，n=10
=（r=0，1，，10）
∵5-Z，∴r=0，6
有理项为T₁=C₁₀⁰x⁵，T₇=C₁₀⁶x⁴=210x⁴
（2）∵C_n^r+C_n^r-1=C_n+1^r，
∴x²项的系数为C₃²+C₄²+…+C₁₀²=（C₄³-C₃³）+…+（C₁₁³-C₁₀³）
=C₁₁³-C₃³=164