设n∈N*，（2x+1）n的展开式各项系数之和为an，（3x+1）n展开式的二项式系数之和为bn，则limn→+∞2an+3bnan+1bn+1=．

Question

设n∈N ^* ，（2x+1） ⁿ 的展开式各项系数之和为a _n ，（3x+1） ⁿ 展开式的二项式系数之和为b _n ，则

lim

n→+∞

(2an +3bn)/(an+1bn+1) =______．

Answer 1

令x=1由二项式定理可得a _n =3 ⁿ ，（3x+1） ⁿ 展开式的二项式系数之和b _n =2 ⁿ
∴

lim

n→∞

(2 an +3 bn)/(an+1 bn+1) =

lim

n→∞

(2? 3n +3? 2n)/(3n+1 + 2n+1) =

lim

n→∞

(2+3? ((2)/(3))n)/(3+2? ((2)/(3))n) = (2+3limn→∞((2)/(3))n)/(3+2limn→∞((2)/(3))n) = (2)/(3)
故答案为 (2)/(3)