观察下面等式，归纳出一般结论，并用数学归纳法证明你的结论．结论：12+22+32+…+n2=n(n+1)(2n+1)6n(n+1)(2n+1)6．

Question

观察下面等式，归纳出一般结论，并用数学归纳法证明你的结论．
结论：1²+2²+3²+…+n²=

(n(n+1)(2n+1))/(6)

(n(n+1)(2n+1))/(6)

．

Answer 1

由于所给的等式的左边，是非0自然数的平方和，右边是(1)/(6)倍的连续的两个自然数n，（n+1）与一个2n+1的积，
所以，猜想：1²+2²+3²+…+n²=(n(n+1)(2n+1))/(6)------------------（4分）
证明：（1）当n=1时，左边=1²=1，右边=(1×2×3)/(6)＝1，等式成立．
（2）假设当n=k时，等式成立，即：1²+2²+3²+…+k²=(k(k+1)(2k+1))/(6)-----------（6分）
那么，当  n=k+1时，1²+2²+3²+…+k²+（k+1）²
=(k(k+1)(2k+1))/(6)+(K+1)2
=(k(k+1)(2k+1)+6(k+1)2)/(6)
=((k+1)[(k+1)+1][2(k+1)+1])/(6)，
就是说，当 n=k+1时等式也成立．----------------------（13分）
综上所述，对任何n∈N₊都成立．----------------------（14分）
故答案为：(n(n+1)(2n+1))/(6)．