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在△ABC中,tanA+tanB+tanC>0是△ABC是锐角三角形的()A.既不充分也不必要条件B.充分必要条件C.必要不充分条件D.充分不必要条件

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在△ABC中,tanA+tanB+tanC>0是△ABC是锐角三角形的(  )

A.既不充分也不必要条件
B.充分必要条件
C.必要不充分条件
D.充分不必要条件
▼优质解答
答案和解析
先证充分性:
∵tan(A+B)=
tanA+tanB
1−tanA•tanB

∴tan(A+B)=tan(180°-C)=-tanC,
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC,
若三角形有一个钝角,必有一个值为负值,tanA•tanB•tanC<0,
若三角形有一个为直角,则tanA•tanB•tanC无意义,
∴当tanA•tanB•tanC>0时三个角为锐角,
故tanA+tanB+tanC>0时,△ABC是锐角三角形;
再证必要性:
∵△ABC是锐角三角形;
∴tanA•tanB•tanC>0,
又tan(A+B)=
tanA+tanB
1−tanA•tanB

∴tan(A+B)=tan(180°-C)=-tanC,
∴tanA+tanB=-tanC+tanAtanBtanC,
∴tanA+tanB+tanC=tanA•tanB•tanC>0,
∴△ABC是锐角三角形时,tanA+tanB+tanC>0.
故选:B.