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已知三角形的三条边的长是三个连续的正整数,试讨论最小边长分别取什么值时,这个三角形是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形?
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已知三角形的三条边的长是三个连续的正整数,试讨论最小边长分别取什么值时,这个三角形是直角三角形、钝角三角形、锐角三角形?
▼优质解答
答案和解析
设三个连续的正整数n,n+1,n+2为三角形的三边,当且仅当n+2<n+n+1,即n>1,∴n≥2.
(1).若所构成的三角形是直角三角形,当且仅当n2+(n+1)2=(n+2)2,即n2-2n-3=0,(n+1)(n-3)=0,∴n=3.…(5分)
(2).若所构成的三角形是钝角三角形,当且仅当n2+(n+1)2<(n+2)2,即n2-2n-3<0,(n+1)(n-3)<0,∴n<3,又n≥2,∴n=2.…(10分)
(3).若所构成的三角形是锐角三角形,当且仅当n2+(n+1)2>(n+2)2,即n2-2n-3>0,(n+1)(n-3)>0,∴n>3,又n≥4,∴n=4.…(15分)
综上所述,当n=2时三边为2、3、4,构成钝角三角形;当n=3时三边为3、4、5,构成直角三角形;当n=4时三边为4、5、6,构成锐角三角形.…(20分)
(1).若所构成的三角形是直角三角形,当且仅当n2+(n+1)2=(n+2)2,即n2-2n-3=0,(n+1)(n-3)=0,∴n=3.…(5分)
(2).若所构成的三角形是钝角三角形,当且仅当n2+(n+1)2<(n+2)2,即n2-2n-3<0,(n+1)(n-3)<0,∴n<3,又n≥2,∴n=2.…(10分)
(3).若所构成的三角形是锐角三角形,当且仅当n2+(n+1)2>(n+2)2,即n2-2n-3>0,(n+1)(n-3)>0,∴n>3,又n≥4,∴n=4.…(15分)
综上所述,当n=2时三边为2、3、4,构成钝角三角形;当n=3时三边为3、4、5,构成直角三角形;当n=4时三边为4、5、6,构成锐角三角形.…(20分)
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